[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.11

11. (Gersgorin 圆盘定理) 用 $\sigma(A)$ 表示 $A=(a_{ij})\in M_n$ 的特征值的集合, 记

$$\bex D_i=\sed{z\in\bbC;\ |z-a_{ii}|\leq \sum_{j\neq i}|a_{ij}|},\quad i=1,\cdots,n. \eex$$ 证明: $$\bex \sigma(A)\subset \cup_{i=1}^n D_i, \eex$$ 并且如果这些圆盘 $D_i$ 中有 $k$ 个与其余的 $n-k$ 个不相交, 则这 $k$ 个圆盘的并集恰好含有 $A$ 的 $k$ 个特征值.

 

 

证明: (1). 设 $\lm$ 是 $A$ 的一个特征值, $0\neq x$ 为其一特征向量, 记

$$\bex |x_k|=\max_{1\leq j\leq n}|x_j|>0, \eex$$ 则 $$\beex \bea &\quad Ax=\lm x\\ &\ra \sum_j a_{kj}x_j=\lm x_k\\ &\ra (\lm-a_{kk})x_k=\sum_{j\neq k}a_{kj}x_j\\ &\ra |\lm-a_{kk}| =\sev{\sum_{j\neq k}a_{kj}\frac{x_j}{x_k}} \leq \sum_{j\neq k}|a_{kj}|\\ &\ra \lm\in D_k\subset \cup_{i=1}^n D_i. \eea \eeex$$ (2). 设 $$\bex A=D+G,\quad D=\diag(a_{11},\cdots,a_{nn}). \eex$$ 考虑 $A(t)$ 的特征值 $\lm_i(t),\ i=1,\cdots,n$, 则由 (1) 知他们位于 $$\bex D_i(t)=\sed{z\in\bbC;\ |z-a_{ii}|\leq t\sum_{j\neq i}|a_{ij}|},\quad i=1,\cdots,n \eex$$ 的并上. 由题意, 可设 $$\bex C(1)=D_{i_1}(1)\cup\cdots \cup D_{i_k}(1) \eex$$ 与其他 $n-k$ 个圆盘的并 $$\bex F(1)=D_{j_1}(1)\cup \cdots \cup F_{j_{n-k}}(1) \eex$$ 不相交, 则由 $D_i(t)\subset D_i(1)$, $F_j(t)\subset F_j(1)$ 知 $$\bee\label{1_11_vno} C(t)\cap F(t)=\vno,\quad 0\leq t\leq 1. \eee$$ 由 $$\bex C(0)=\sed{a_{i_1i_1},\cdots, a_{i_ki_k}}, \eex$$ 我们知 $A$ 的特征值 $\lm_1(1),\cdots, \lm_n(1)$ 中仅有 $$\bex \lm_{i_1}(1),\cdots,\lm_{i_k}(1)\in C(1). \eex$$ 事实上, 若某个 $\lm_{i_l}(1)\in F(1)$, 则记 $$\bex f(t)=\rd (\lm_{i_l}(t),C(t))-\rd (\lm_{i_l}(t),F(t)) \eex$$ 后有 ($C(0)=\sed{a_{i_1,i_1},\cdots,a_{i_k,i_k}}$) $$\bex f(0)=\rd (\lm_{i_l}(0),C(0))-\rd (\lm_{i_l}(0),F(0))<0<\rd (\lm_{i_l}(1),C(1))-\rd (\lm_{i_l}(1),F(1))=f(1). \eex$$ 由于特征值 $\lm(t)$ 与 $C(t)$ 均是 $t$ 的连续函数, 由介值定理, $$\bex \exists\ t_0\in (0,1),\st f(t_0)=0. \eex$$ 但这意味着 $$\bex \rd (\lm_{i_l}(t_0),C(t_0))=\rd (\lm_{i_l}(t_0),F(t_0)). \eex$$ 由 (1), $$\bex \rd (\lm_{i_l}(t_0),C(t_0))=\rd (\lm_{i_l}(t_0),F(t_0))=0. \eex$$ 既然 $C(t_0)$, $F(t_0)$ 都是闭集, $$\bex \lm_{i_l}(t_0)\in C(t_0)\cap F(t_0). \eex$$ 这与 $\eqref{1_11_vno}$ 矛盾. 同样的道理, $\lm_{j_1}(1),\cdots, \lm_{j_{n-k}}(1)\in F(1)$.