12. (Sherman-Morrison-Woodbury 公式) 设 A∈Mn, B,C∈Mn,k 使得 I+C∗A−1B 可逆, 其中 I 是单位阵. 证明 A+BC∗ 可逆且 \bex(A+BC∗)−1=A−1−A−1B(I+C∗A−1B)−1C∗A−1.\eex
证明: \beex \bea &\quad (A+BC^*)\sez{A^{-1} -A^{-1}B (I+C^*A^{-1}B)^{-1}C^*A^{-1}}\\ &=I+BC^*A^{-1} -(A+BC^*)A^{-1}B(I+C^*A^{-1}B)^{-1}C^*A^{-1}\\ &=I+BC^*A^{-1} -(I+BC^*A^{-1})\sez{(I+C^*A^{-1}B)B^{-1}}^{-1}C^*A^{-1}\\ &=I+BC^*A^{-1} -(I+BC^*A^{-1})(B^{-1}+C^*A^{-1})^{-1}C^*A^{-1}\\ &=I+BC^*A^{-1} -(I+BC^*A^{-1})\sez{B^{-1}(I+BC^*A^{-1})}^{-1}C^*A^{-1}\\ &=I+BC^*A^{-1} -BC^*A^{-1}\\ &=0. \eea \eeex
