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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.14

2014-10-29 580

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简介： 14. 如果映射

$f:M_n\to M_n$ 按某个固定的模式将

$M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称

$f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变? 解答: 置换算子

$f$ 保持矩阵的特征值不变当且仅当存在置换矩阵

$P$ , 使得 $$\bex...

14. 如果映射 $f:M_n\to M_n$ 按某个固定的模式将 $M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称 $f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变?

解答: 置换算子 $f$ 保持矩阵的特征值不变当且仅当存在置换矩阵 $P$ , 使得

$\bex f(A)=PAP^T,\quad \forall\ A\in M_n; \eex$ 或

$\bex f(A)=PA^TP^T,\quad \forall\ A\in M_n. \eex$ 置换算子

$f$ 保持矩阵的奇异值不变当且仅当存在置换矩阵

$P$ ,

$Q$ , 使得

$\bex f(A)=PAQ,\quad \forall\ A\in M_n; \eex$ 或

$\bex f(A)=PA^TQ,\quad \forall\ A\in M_n. \eex$

张祖锦

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张祖锦

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