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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.1

2014-10-29 592

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简介： 1. 对于怎样的

$A\in M_m$ ,

$B\in M_n$ ,

$A\otimes B=I$ ? 解答: 写出 $$\bex A\otimes B=\sex{\ba{ccc} a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}B&\cdots&a_{nn}B \ea}.

1. 对于怎样的 $A\in M_m$ , $B\in M_n$ , $A\otimes B=I$ ?

解答: 写出

$\bex A\otimes B=\sex{\ba{ccc} a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}B&\cdots&a_{nn}B \ea}. \eex$ 要使

$A\otimes B=I$ , 当且仅当

$\bex a_{ij}B=0,\quad i\neq j;\quad\quad a_{ii}B=I. \eex$ 于是

$\bex A=aI,\quad B=\frac{1}{a}I,\quad a\neq 0. \eex$

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张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.11

11. (Gasca-Pena) 一个

$n$ 阶可逆矩阵

$A$ 是全面非负的当且仅当对每个

$1\leq k\leq n$ ,

$\bex \det A[1,2,\cdots,k]>0, \eex$ $$\bex \det A[\al\mid 1,2,\cdots,k]\geq 0,\quad...

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.2

2. 证明引理 7.13. 证明: 用反证法. 若对任一置换阵

$P$ ,

$PA$ 的对角元都至少有一个为零, 则

$A$ 的每条对角线至少含有一个零元素. 由 Frobenius-K\"onig 定理,

$A$ 有一个

$r\times s$ 阶的零子矩阵,

$r+s=n+1$ .

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.6

6. 举例说明: 存在那样的实方阵

$A$ ,

$A$ 的零元素的个数大于

$A$ 的 Jordan 标准形的零元素的个数. 解答: 想法就是利用第 5 节的 Jordan 标准形的组合刻画.

张祖锦

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张祖锦

资源调度 Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.4

4. (G.M. Krause) 令 $$\bex \lm_1=1,\quad \lm_2=\frac{4+5\sqrt{3}I}{13},\quad \lm_3=\frac{-1+2\sqrt{3}i}{13},\quad v=\sex{\sqrt{\frac{5}{8}},\frac{1}{2},\sqrt{\frac{1}{8}}}^T.

张祖锦

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资源调度 Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5

5. (Friedland) 给定

$A\in M_n$ ,

$\lm_i\in \bbC$ ,

$i=1,\cdots,n$ . 证明: 存在对角矩阵

$D\in M_n$ 使得

$\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$ , 并且满足上述条件的对角矩阵

$D$ 只有有限多个.

张祖锦

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Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.3

$G\in M_n$ 称为一个秩

$k$ 部分等距矩阵, 若

$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$ 证明对

$X\in M_n$ , $$\bex \sum_{j=1}^k s_j(X) =\...

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.2

2. (Thompson). 设

$A,B\in M_n$ , 则存在酉矩阵

$U, V\in M_n$ 满足

$\bex |A+B|\leq U|A|U^*+V|B|V^*. \eex$ 证明: (1).

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.16

16. (Fan-Hoffman) 设

$A\in M_n$ ,

$A=UP$ 为极分解,

$U$ 为酉矩阵,

$P$ 为半正定矩阵. 若

$W\in M_n$ 为酉矩阵, 则

$\bex \sen{A-U}\leq \sen{A-W}\leq \sen{A+U} \eex$ 对任何酉不变范数成立.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.12

12. 设

$p,q$ 为正实数, 满足

$\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$ , 则对

$A,B\in M_n$ 和酉不变范数有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p} \sen{|B|^q}^\frac{1}{q}.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.8

8. 设

$p,q$ 为正实数, 满足

$\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$ , 设

$x,y\in \bbR^n_+$ , 则对

$\bbR^n$ 上的任何对称规度函数

$\varphi$ 有 $$\bex \varphi(x\circ y)\leq [\varphi(x...

张祖锦

591 0 0

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.1

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