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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.3

2014-10-29 842

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简介： 3. 设

$A,B\in M_n$ ,

$A$ 正定,

$B$ 半正定且对角元素都是正数, 则

$A\circ B$ 正定. 证明: 由 Schur 定理,

$A\circ B$ 半正定, 而其特征值

$\geq 0$ .

3. 设 $A,B\in M_n$ , $A$ 正定, $B$ 半正定且对角元素都是正数, 则 $A\circ B$ 正定.

证明: 由 Schur 定理, $A\circ B$ 半正定, 而其特征值 $\geq 0$ . 为证 $A\circ B$ 正定, 仅须证明 $\det(A\circ B)>0$ ( $\ra$ 任一特征值 $>0$ ). 而这可直接由 Oppenheim 不等式

$\bex \det(A\circ B)\geq \det A\cdot \prod_{i=1}^n b_{ii} \eex$ 得到.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.3

3. 一个

$n$ 阶符号模式方阵

$A$ 称为谱任意模式, 如果每个首一的

$n$ 次实多项式都是

$Q(A)$ 中某个矩阵的特征多项式. 研究谱任意模式. 证明: Open problems.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵

$A$ 具有 (6.22) 的形式并且

$A$ 没有零行也没有零列. 证明:

$A$ 不可月且非本原指标为

$k$ 当且仅当乘积

$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$ 是本原矩阵.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.4

4. 设

$A$ 是个不可约非负方阵,

$0\leq t\leq 1$ , 则

$\bex \rho[tA+(1-t)A^T]\geq \rho(A). \eex$ 证明: (1).

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.1

$A\in M_n$ 称为正交投影矩阵如果

$A$ 是 Hermite 矩阵且幂等:

$\bex A^*=A=A^2. \eex$ 证明: 若

$A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 则

$\sen{A-B}_\infty \leq 1$ .

张祖锦

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Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.2

2. 用

$\im A$ 表示

$A\in M_n$ 的像空间:

$\bex \im A=\sed{Ax;x\in\bbC^n}. \eex$ 设

$A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 满足 $$\bex \sen{A-B}_\infty

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.15

15. (Fan-Hoffman) 设

$A,H\in M_n$ , 其中

$H$ 为 Hermite 矩阵, 则

$\bex \sen{A-\Re A}\leq \sen{A-H} \eex$ 对任何酉不变范数成立.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.1

1. (Fan-Hoffman). 设

$A\in M_n$ , 记

$\Re A=(A+A^*)/2$ . 则 $$\bex \lm_j(\Re A)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,n.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.17

17. (Ando-Zhan) 设

$A,B\in M_n$ 半正定,

$\sen{\cdot}$ 是一个酉不变范数, 则 $$\bex \sen{(A+B)^r}\leq \sen{A^r+B^r},\quad (0

张祖锦

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张祖锦

移动开发 weex

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.5

5. 不用 Weierstrass 定理, 直接证明 Hermite 矩阵的函数运算 (3.6) 与特定的谱分解无关. 证明: 设

$H$ 也有谱分解

$\bex H=V\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n)V^*, \eex$ 则 $$\bex W\diag(\lm_...

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.6

6. 设

$A,B\in M_n$ ,

$A$ 是正定矩阵,

$B$ 是 Hermite 矩阵. 则 $$\bex A+B\mbox{ 正定当且仅当 }\lm_j(A^{-1}B)>-1,\quad j=1,\cdots,n.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.3

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