4. 设 $A=\diag(A_1,\cdots,A_k)\in M_n$, 其中 $A_i\in M_{n_i}$, 且 $\sigma(A_i)\cap \sigma(A_j)=\vno$, $i\neq j$. 若 $B\in M_n$ 且 $AB=BA$, 则 $B=\diag(B_1,\cdots,B_k)\in M_n$, 其中 $B_i\in M_{n_i}$.
证明: 设 $$\bex B=\sex{\ba{ccc} B_{11}&\cdots&B_{1k}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ B_{k1}&\cdots&B_{kk} \ea}, \eex$$ 其中 $B_{ii}$ 与 $A_i$ 同阶, $1\leq i\leq k$. 由 $AB=BA$ 知 $$\bex A_iB_{ii}=B_{ii}A_i,\quad 1\leq i\leq k; \eex$$ $$\bex A_iB_{ij}=B_{ij}A_j,\quad 1\leq i\neq j\leq k. \eex$$ 由 $$\bex A_iB_{ij}-B_{ij}A_j=0,\quad 1\leq i\neq j\leq k, \eex$$ $\sigma(A_i)\cap \sigma(A_j)=\vno$ ($i\neq j$) 及定理 2.7 知 $$\bex B_{ij}=0,\quad i\neq j. \eex$$ 故 $$\bex B=\diag(B_{11},\cdots,B_{kk}). \eex$$
