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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.5

2014-10-29 525

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简介： 5. 设

$A\in M_m$ ,

$B\in M_n$ ,

$C\in M_{m,n}$ . 若

$\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$ , 则 $$\bex \sex{\ba{cc} A&C\\ 0&B \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}\mbox{ 相似}.

5. 设 $A\in M_m$ , $B\in M_n$ , $C\in M_{m,n}$ . 若 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$ , 则

$\bex \sex{\ba{cc} A&C\\ 0&B \ea}\mbox{ 和 }\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}\mbox{ 相似}. \eex$

证明: 由 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$ 知

$\bex AX-XB=C \eex$ 存在唯一解, 而

$\bex \sex{\ba{cc} I&X\\ 0&I \ea}^{-1}\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}\sex{\ba{cc} I&X\\ 0&I \ea}=\sex{\ba{cc} A&C\\ 0&B \ea}. \eex$

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张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.5

5. 元素属于

$\sed{0,*}$ 的矩阵称为零模式矩阵. 设

$A$ 是零模式矩阵, 用

$Q_\bbF(A)$ 记元素属于域

$\bbF$ 的具有零模式

$A$ 的矩阵的集合, 即若

$B\in Q_F(A)$ ,

$B=(b_{ij})$ ,

$A=(a_{ij})$ , 则

$b_{ij}=0$ 当且仅当

$a_{ij}=0$ .

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.12

12. 设

$A$ 是个

$n$ 阶振荡矩阵, 则

$A^{n-1}$ 是全面正矩阵. 证明: 我相信可以利用定理 6.27 (Wielandt) 或者其证明思路, 但是目前还没有做出来.

张祖锦

597 0 0

张祖锦

资源调度

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.8

8. 设

$A$ 是个不可约奇异

$M$ -矩阵, 则存在正向量

$x$ 满足

$Ax=0$ . 证明: 由

$A$ 为

$M$ -矩阵知 $$\bex A=cI-B,\quad c\geq \rho(B),\quad B\geq 0.

张祖锦

636 0 0

张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.5

5. (Levinger, 1970) 设

$A$ 是个不可约非负方阵, 则函数

$\bex f(t)=\rho[tA+(1-t)A^T] \eex$ 在

$[0,1/2]$ 上递增, 在

$[1/2,1]$ 上递减.

张祖锦

528 0 0

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资源调度 Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.4

4. (G.M. Krause) 令 $$\bex \lm_1=1,\quad \lm_2=\frac{4+5\sqrt{3}I}{13},\quad \lm_3=\frac{-1+2\sqrt{3}i}{13},\quad v=\sex{\sqrt{\frac{5}{8}},\frac{1}{2},\sqrt{\frac{1}{8}}}^T.

张祖锦

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Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.2

2. 用

$\im A$ 表示

$A\in M_n$ 的像空间:

$\bex \im A=\sed{Ax;x\in\bbC^n}. \eex$ 设

$A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 满足 $$\bex \sen{A-B}_\infty

张祖锦

576 0 0

张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.5

5. 设

$A,B\in M_n$ , 则 $$\bex s_j(AB)\leq \sen{A}_\infty s_j(B),\quad s_j(AB)\leq \sen{B}_\infty s_j(A),\quad j=1,\cdots,n.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.9

9. 设

$\sen{\cdot}$ 是

$M_n$ 上的酉不变范数, 则

$\sen{\cdot}$ 是次可乘当且仅当

$\bex \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}\geq 1. \eex$ 证明:

$\ra$ : 若

$\sen{\cdot}$ 次可乘, ...

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.8

8. 设

$p,q$ 为正实数, 满足

$\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$ , 设

$x,y\in \bbR^n_+$ , 则对

$\bbR^n$ 上的任何对称规度函数

$\varphi$ 有 $$\bex \varphi(x\circ y)\leq [\varphi(x...

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.11

11.

$M_n$ 上的范数

$\sen{\cdot}$ 称为是对称的, 若 $$\bex \sen{ABC}\leq \sen{A}_\infty\sen{C}_\infty \sen{B},\quad \forall\ A,B,C\in M_n.

张祖锦

588 0 0

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.5

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