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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.6

2014-10-29 648

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简介： 6. (Embry) 我们说两个矩阵 $X$, $Y$ 可交换是指乘法可交换, 即 $XY=YX$. 设 $A,B\in M_n$ 满足 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$. 如果 $C\in M_n$, $C$ 与 $A+B$ 可交换并且 $C$ 与 $AB$ 可交换, 则 $C$ 与 $A$ 和 $B$ 都可交换.

6. (Embry) 我们说两个矩阵 $X$, $Y$ 可交换是指乘法可交换, 即 $XY=YX$. 设 $A,B\in M_n$ 满足 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$. 如果 $C\in M_n$, $C$ 与 $A+B$ 可交换并且 $C$ 与 $AB$ 可交换, 则 $C$ 与 $A$ 和 $B$ 都可交换.

证明: 由 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$ 知 $AX-XB=0$ 有且仅有零解. 但 $$\beex \bea A(AC-CA)-(AC-CA)B &=A^2C-AC(A+B)+CAB\\ &=A^2C-A(A+B)C+ABC\\ &=0 \eea \eeex$$ 说明 $AC-CA$ 也是 $AX-XB=0$ 的解. 故 $AC=CA$. 同理, $BC=CB$.

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.1

1. (Maybee) 设 $A$ 是一个树符号模式. 证明: (1). 若 $A$ 的每个简单 $2$-圈都是正的, 则对于任何 $B\in Q(A)$, 存在可逆的实对角矩阵 $D$ 使得 $D^{-1}AD$ 为对称矩阵.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.4

4. 怎样的符号模式要求所有特征值都互不相同呢? 证明: Open problems.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.2

2. 设 $A$ 是个非负方阵且存在一个正整数 $p$ 使得 $A^p>0$, 则对所有正整数 $q\geq p$, $A^q>0$. 证明: 不妨设 $n\geq 2$. 由定理 6.

张祖锦

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张祖锦

机器学习/深度学习

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.3

3. 设 $\lm$ 是一个复数. 证明: 存在非负方阵 $A$ 使得 $\lm$ 是 $A$ 的一个特征值. 证明: (1). 首先 $A$ 的阶数须 $\geq 3$. 当 $n=1$ 时, 非负方阵的特征值为非负实数.

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.9

9. 设 $\sen{\cdot}$ 是 $M_n$ 上的酉不变范数, 则 $\sen{\cdot}$ 是次可乘当且仅当 $$\bex \sen{\diag(1,0,\cdots,0)}\geq 1. \eex$$ 证明: $\ra$: 若 $\sen{\cdot}$ 次可乘, ...

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.16

16. (Fan-Hoffman) 设 $A\in M_n$, $A=UP$ 为极分解, $U$ 为酉矩阵, $P$ 为半正定矩阵. 若 $W\in M_n$ 为酉矩阵, 则 $$\bex \sen{A-U}\leq \sen{A-W}\leq \sen{A+U} \eex$$ 对任何酉不变范数成立.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.12

12. 设 $p,q$ 为正实数, 满足 $\dps{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$, 则对 $A,B\in M_n$ 和酉不变范数有 $$\bex \sen{AB}\leq \sen{|A|^p}^\frac{1}{p} \sen{|B|^q}^\frac{1}{q}.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.10

10. 设 $A,B$ 是同阶半正定矩阵, $0\leq s\leq 1$. 证明: $$\bex \sen{A^sB^s}_\infty \leq \sen{AB}_\infty^s. \eex$$ 证明: (1).

张祖锦

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计算机视觉

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.8

8. 证明每个半正定矩阵都有唯一的半正定平方根, 即若 $A\geq 0$, 则存在唯一的 $B\geq 0$ 满足 $B^2=A$. 证明: 由 $A\geq 0$ 知存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex U^*AU=\diag(\lm_1,\cdots,\lm_n),\quad \lm_i\geq 0.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.4

4. 设 $x,y,u\in\bbR^n$ 的分量都是递减的. 证明: (1). 若 $x\prec y$ 则 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$. (2). 若 $x\prec_w y$ 且 $u\in\bbR^n_+$, 则 $\sef{x,u}\leq \sef{y,u}$.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.6

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