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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.6

2014-10-29 698

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简介： 6. (Embry) 我们说两个矩阵

$X$ ,

$Y$ 可交换是指乘法可交换, 即

$XY=YX$ . 设

$A,B\in M_n$ 满足

$\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$ . 如果

$C\in M_n$ ,

$C$ 与

$A+B$ 可交换并且

$C$ 与

$AB$ 可交换, 则

$C$ 与

$A$ 和

$B$ 都可交换.

6. (Embry) 我们说两个矩阵 $X$ , $Y$ 可交换是指乘法可交换, 即 $XY=YX$ . 设 $A,B\in M_n$ 满足 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$ . 如果 $C\in M_n$ , $C$ 与 $A+B$ 可交换并且 $C$ 与 $AB$ 可交换, 则 $C$ 与 $A$ 和 $B$ 都可交换.

证明: 由 $\sigma(A)\cap \sigma(B)=\vno$ 知 $AX-XB=0$ 有且仅有零解. 但

$\beex \bea A(AC-CA)-(AC-CA)B &=A^2C-AC(A+B)+CAB\\ &=A^2C-A(A+B)C+ABC\\ &=0 \eea \eeex$ 说明

$AC-CA$ 也是

$AX-XB=0$ 的解. 故

$AC=CA$ . 同理,

$BC=CB$ .

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