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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.8

2014-10-29 769

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简介： 8. 设

$k\leq m\leq n$ . 怎样的矩阵

$A\in M_{m,n}$ 的每条对角线恰好含有

$k$ 个零元素? 解答: 由定理 2.5 (K\"onig),

$A$ 的每条对角线都含有

$k$ 个零元素

$\lra$

$A$ 有一个

$r\times s$ 的零子矩阵,...

8. 设 $k\leq m\leq n$ . 怎样的矩阵 $A\in M_{m,n}$ 的每条对角线恰好含有 $k$ 个零元素?

解答: 由定理 2.5 (K\"onig), $A$ 的每条对角线都含有 $k$ 个零元素 $\lra$ $A$ 有一个 $r\times s$ 的零子矩阵, $r+s=n+k$ ; $A$ 有一条对角线含有 $k+1$ 个零元素 $\lra$ $A$ 的任一 $r\times s$ 阶子矩阵非零, $r+s=n+k+1$ . 于是 $A$ 的每条对角线恰含有 $k$ 个零元素, 当且仅当

$\bex A=P^T \sex{\ba{cc} 0_{r,s}&B\\ C&D \ea}P, \eex$ 其中

$r+s=n+k$ ,

$P$ 为任一置换阵,

$B,C,D$ 的每一元素

$\neq 0$ .

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.15

15. (Hu-Li-Zhan) 秩为

$k$ 的

$n$ 阶对称

$0-1$ 矩阵中

$1$ 的个数可能是哪些数呢? 解答: 见 [Q. Hu, Y.Q. Li, X.Z. Zhan, Possible numbers of ones in

$0-1$ matrices wit...

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.5

5. 元素属于

$\sed{0,*}$ 的矩阵称为零模式矩阵. 设

$A$ 是零模式矩阵, 用

$Q_\bbF(A)$ 记元素属于域

$\bbF$ 的具有零模式

$A$ 的矩阵的集合, 即若

$B\in Q_F(A)$ ,

$B=(b_{ij})$ ,

$A=(a_{ij})$ , 则

$b_{ij}=0$ 当且仅当

$a_{ij}=0$ .

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.6

6. 举例说明: 存在那样的实方阵

$A$ ,

$A$ 的零元素的个数大于

$A$ 的 Jordan 标准形的零元素的个数. 解答: 想法就是利用第 5 节的 Jordan 标准形的组合刻画.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.2

2. 证明引理 7.13. 证明: 用反证法. 若对任一置换阵

$P$ ,

$PA$ 的对角元都至少有一个为零, 则

$A$ 的每条对角线至少含有一个零元素. 由 Frobenius-K\"onig 定理,

$A$ 有一个

$r\times s$ 阶的零子矩阵,

$r+s=n+1$ .

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.14

14. (Shao) 设非负方阵

$A$ 具有 (6.22) 的形式并且

$A$ 没有零行也没有零列. 证明:

$A$ 不可月且非本原指标为

$k$ 当且仅当乘积

$\bex A_{12}A_{23}\cdots A_{k-1,k}A_{k1} \eex$ 是本原矩阵.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.2

2. 设

$A$ 是个非负方阵且存在一个正整数

$p$ 使得

$A^p>0$ , 则对所有正整数

$q\geq p$ ,

$A^q>0$ . 证明: 不妨设

$n\geq 2$ . 由定理 6.

张祖锦

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张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.1

1. 怎样的非负矩阵可逆并且其逆也非负? 解答: 设

$A\geq0$ 可逆, 且其逆

$A^{-1}=B\geq 0$ . 则

$\bex I_n=AB=BA. \eex$ 对

$A$ 的第

$i$ (

$1\leq i\leq n$ ) 列, 由

$A$ 可逆知 $$\bex \exists\ j,\st a_{ij}>0.

张祖锦

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张祖锦

资源调度

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.10

10. 非本原指标为

$k$ 的

$n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢? 解答: 只需利用定理 6.28 (Frobenius), 探讨

$\bex f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1} \eex$ 在条件

$\bex x_i>0,\quad\sum_{i=1}^n x_i=n \eex$ 下的最小最大值.

张祖锦

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张祖锦

Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.9

9. (Hopf) 将

$n$ 阶正矩阵

$A=(a_{ij})$ 的特征值按模从大到小排列为

$\bex \rho(A)>|\lm_2|\geq \cdot \geq |\lm_n|, \eex$ 并记 $$\bex \al=\max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}, \quad \beta=\min \max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}.

张祖锦

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资源调度 Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.4

4. (G.M. Krause) 令 $$\bex \lm_1=1,\quad \lm_2=\frac{4+5\sqrt{3}I}{13},\quad \lm_3=\frac{-1+2\sqrt{3}i}{13},\quad v=\sex{\sqrt{\frac{5}{8}},\frac{1}{2},\sqrt{\frac{1}{8}}}^T.

张祖锦

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.8

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