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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.9

2014-10-29 546

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简介： 9. 记

$\dps{m=\sex{n\atop k}}$ . 复合矩阵映射

$C_k(\cdot): M_n\to M_m$ 是单射吗? 是满射吗? 解答: 当

$k=1$ 时,

$C_k(A)$ 就是

$A$ 的每个元素.

9. 记 $\dps{m=\sex{n\atop k}}$ . 复合矩阵映射 $C_k(\cdot): M_n\to M_m$ 是单射吗? 是满射吗?

解答: 当 $k=1$ 时, $C_k(A)$ 就是 $A$ 的每个元素. 故 $C_k$ 是单射也是满射. 当 $k\geq 2$ 时, 一般地, $C_k$ 不是单射, 比如

$\bex \sex{\ba{cccc} 1&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \ea},\quad \sex{\ba{cccc} 0&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0 \ea} \eex$ 具有相同的

$k$ 阶子式, 但不相等.

$C_k$ 也不是满射, 这是因为

$\bex n\geq 3\ra \sex{n\atop 2}>n. \eex$

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.12

12. 设

$A$ 是个

$n$ 阶振荡矩阵, 则

$A^{n-1}$ 是全面正矩阵. 证明: 我相信可以利用定理 6.27 (Wielandt) 或者其证明思路, 但是目前还没有做出来.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题7.3

3. 一个

$n$ 阶符号模式方阵

$A$ 称为谱任意模式, 如果每个首一的

$n$ 次实多项式都是

$Q(A)$ 中某个矩阵的特征多项式. 研究谱任意模式. 证明: Open problems.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.13

13. (Sinkhorn) 设

$A$ 是一个方的正矩阵, 则存在对角元素为正数的两个对角矩阵

$D_1$ 和

$D_2$ 使得

$D_1AD_2$ 为双随机矩阵 (doubly stochastic matrix).

张祖锦

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张祖锦

资源调度

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.8

8. 设

$A$ 是个不可约奇异

$M$ -矩阵, 则存在正向量

$x$ 满足

$Ax=0$ . 证明: 由

$A$ 为

$M$ -矩阵知 $$\bex A=cI-B,\quad c\geq \rho(B),\quad B\geq 0.

张祖锦

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张祖锦

Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.9

9. (Hopf) 将

$n$ 阶正矩阵

$A=(a_{ij})$ 的特征值按模从大到小排列为

$\bex \rho(A)>|\lm_2|\geq \cdot \geq |\lm_n|, \eex$ 并记 $$\bex \al=\max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}, \quad \beta=\min \max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}.

张祖锦

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张祖锦

资源调度

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.10

10. 非本原指标为

$k$ 的

$n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢? 解答: 只需利用定理 6.28 (Frobenius), 探讨

$\bex f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1} \eex$ 在条件

$\bex x_i>0,\quad\sum_{i=1}^n x_i=n \eex$ 下的最小最大值.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.1

$A\in M_n$ 称为正交投影矩阵如果

$A$ 是 Hermite 矩阵且幂等:

$\bex A^*=A=A^2. \eex$ 证明: 若

$A,B\in M_n$ 为正交投影矩阵, 则

$\sen{A-B}_\infty \leq 1$ .

张祖锦

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张祖锦

资源调度 Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题5.5

5. (Friedland) 给定

$A\in M_n$ ,

$\lm_i\in \bbC$ ,

$i=1,\cdots,n$ . 证明: 存在对角矩阵

$D\in M_n$ 使得

$\sigma(A+D)=\sed{\lm_1,\cdots,\lm_n}$ , 并且满足上述条件的对角矩阵

$D$ 只有有限多个.

张祖锦

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张祖锦

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.6

6. 设

$A,B\in M_n$ 半正定, 则 $$\bex s_j(A-B)\leq s_j\sex{ \sex{\ba{cc} A&0\\ 0&B \ea}},\quad j=1,\cdots,n.

张祖锦

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张祖锦

Perl

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题4.3

$G\in M_n$ 称为一个秩

$k$ 部分等距矩阵, 若

$\bex s_1(G)=\cdots=s_k(G)=1,\quad s_{k+1}(G)=\cdots=s_n(G)=0. \eex$ 证明对

$X\in M_n$ , $$\bex \sum_{j=1}^k s_j(X) =\...

张祖锦

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