定理 调和级数 $$\vsm{n}\frac{1}{n}$$ 发散.
证 若不然. 令 $S=\vsm{n}\frac{1}{n}<\infty$, 则
$$\vsm{n}\frac{(-1)^n}{n}=S-2\vsm{n}\frac{1}{n}=S-S=0.$$
这与
$$\vsm{n}\frac{1}{n}=\sex{1-\frac{1}{2}}+\sex{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}+\cdots>0$$
矛盾. 故调和级数 $\vsm{n}\frac{1}{n}$ 发散.
类似可证： 若 $0<\al<1$, 则级数 $\vsm{n}\frac{1}{n^\al}$ 发散.
来自Hansschwarzkopf
