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[Everyday Mathematics]20150225

2015-01-21 773

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简介： 设

$f:\bbR\to\bbR$ 二次可微, 适合

$f(0)=0$ . 试证:

$\bex \exists\ \xi\in\sex{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}},\st f''(\xi)=f(\xi)(1+2\tan^2\xi). \eex$

设 $f:\bbR\to\bbR$ 二次可微, 适合 $f(0)=0$ . 试证:

$\bex \exists\ \xi\in\sex{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}},\st f''(\xi)=f(\xi)(1+2\tan^2\xi). \eex$

张祖锦

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张祖锦

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[Everyday Mathematics]20150301

设

$f(x)$ 在

$[-1,1]$ 上有任意阶导数,

$f^{(n)}(0)=0$ , 其中

$n$ 是任意正整数, 且存在

$C>0$ , $$\bex |f^{(n)}(x)|\leq C^nn!,\quad \forall\ n\in\bbN,\quad \forall\ x\in[-1,1].

张祖锦

665 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150303

设

$f$ 是

$\bbR$ 上的

$T$ - 周期函数, 试证:

$\bex \int_T^\infty\frac{f(x)}{x}\rd x\mbox{ 收敛 } \ra \int_0^T f(x)\rd x=0. \eex$

张祖锦

799 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150221

设

$y_n=x_n^2$ 如下归纳定义:

$\bex x_1=\sqrt{5},\quad x_{n+1}=x_n^2-2\ (n=1,2,\cdots). \eex$ 试求

$\dps{\vlm{n}\frac{x_1x_2\cdots x_n}{x_{n+1}}}$ .

张祖锦

621 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150223

是否存在

$3\times 3$ 阶实方阵

$A$ 使得

$\tr A=0$ 且

$A^2+A^T=I$ ?

张祖锦

547 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150215

设

$n,k$ 是正整数, 使得

$x^{2k}-x^k+1$ 整除

$x^{2n}+x^n+1$ . 试证:

$x^{2k}+x^k+1$ 整除

$x^{2n}+x^n+1$ .

张祖锦

526 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150224

设

$A,B$ 是

$n$ 阶实对称矩阵, 它们的特征值

$>1$ . 试证:

$AB$ 的特征值的绝对值

$>1$ .

张祖锦

480 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150205

设

$\phi:[k_0,\infty)\to[0,\infty)$ 是有界递减函数, 并且

$\bex \phi(k)\leq \sex{\frac{A}{h-k}}^\al\phi(h)^\beta,\quad k>h\geq k_0, \eex$ 其中

$A,\al>0$ ,

$\beta>1$ .

张祖锦

655 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150203

设

$f$ 在

$\bbR$ 上连续可导, 且

$\dps{f'\sex{\frac{1}{2}}=0}$ . 试证:

$\bex \exists\ \xi\in \sex{0,\frac{1}{2}},\st f'(\xi)=2\xi [f(\xi)-f(0)]. \eex$

张祖锦

546 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150128

求极限

$\bex \lim_{x\to 0}\sex{\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}}^\frac{1}{x}. \eex$

张祖锦

506 0 0

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150124

设

$A,B$ 是同阶方阵, 满足

$AB+A+B=0$ . 试证:

$AB=BA$ .

张祖锦

495 0 0

[Everyday Mathematics]20150225

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