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[Everyday Mathematics]20150302

2015-01-26 605

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简介： $$\bex |p|

$$\bex |p|<\frac{1}{2}\ra \int_0^\infty \sex{\frac{x^p-x^{-p}}{1-x}}^2\rd x =2(1-2p\pi \cot 2p\pi). \eex$$

张祖锦

[Everyday Mathematics]20150305

设 $f\in C^2[0,1]$, $$\bex f(0)=-1,\quad f'(1)=3,\quad \int_0^1 xf''(x)\rd x=1. \eex$$ 试求 $f(1)$. 解答: $$\beex \bea 1&=\int_0^1 x\rd f'(x)\\ &=xf'(x...

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150304

证明: $$\bex \frac{2}{\pi}\int_0^\infty \frac{1-\cos 1\cos \lm-\lm \sin 1\sin \lm}{1-\lm^2}\cos \lm x\rd \lm =\sedd{\ba{ll} |\sin x|,&-1

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150303

设 $f$ 是 $\bbR$ 上的 $T$ - 周期函数, 试证: $$\bex \int_T^\infty\frac{f(x)}{x}\rd x\mbox{ 收敛 } \ra \int_0^T f(x)\rd x=0. \eex$$

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150214

设 $\dps{x\in \sex{0,\frac{\pi}{2}}}$, 试比较 $\tan(\sin x)$ 和 $\sin(\tan x)$.

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150215

设 $n,k$ 是正整数, 使得 $x^{2k}-x^k+1$ 整除 $x^{2n}+x^n+1$. 试证: $x^{2k}+x^k+1$ 整除 $x^{2n}+x^n+1$.

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150223

是否存在 $3\times 3$ 阶实方阵 $A$ 使得 $\tr A=0$ 且 $A^2+A^T=I$?

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150220

试求 $$\bex \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)}. \eex$$

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150226

设 $z\in\bbC$ 适合 $|z+1|>2$. 试证: $$\bex |z^3+1|>1. \eex$$

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150208

对 $f\in C^2(\bbR)$ 适合 $$\bex \vlm{|x|}f(x)=0, \eex$$ 试证: $$\bex \int_{\bbR} |f'|^p\rd x \leq (p-1)^\frac{p}{2}\int_{\bbR} |ff''|^\frac{p}{2} \rd x,\quad p\geq 2.

张祖锦

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张祖锦

[Everyday Mathematics]20150209

设 $f$ 在区间 $I$ 上三阶可导, $f'\neq 0$, 则可定义 $f$ 的 Schwarz 导数: $$\bex S(f,x)=\frac{f'''(x)}{f'(x)}-\frac{3}{2}\sez{\frac{f''(x)}{f'(x)}}^2 =\sez{\frac{f''(x)...

张祖锦

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