1. (Taylor 公式). 设 $f^{(n)}$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f^{(n+1)}$ 在 $(a,b)$ 内存在, 试证: $ \forall\ x,x_0\in [a,b],\ \exists\ \xi\mbox{ 在 }x,x_0\mbox{ 之间},\st $ $$\bex f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}. \eex$$
2. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上三阶可导, 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st f(b)=f(a)+f'\sex{\frac{a+b}{2}}(b-a)+\frac{1}{24}f'''(\xi)(b-a)^3. \eex$$
3. 设 $f$ 在 $(a,b)$ 内二阶可导, 试证: $$\bex \exists\ \xi\in (a,b),\st \int_a^b f(x)\rd x =(b-a)f\sex{\frac{a+b}{2}} +\frac{1}{24}f''(\xi)(b-a)^3. \eex$$
4. 设 $f\in C^2(\bbR)$, 并记 $$\bex M_i=\sup_{x\in\bbR}|f^{(i)}(x)|,\quad i=0,1,2;\quad\quad M_0,M_2<\infty. \eex$$ 试证: $ M_1^2\leq 2M_0M_2. $
5. 设 $$\bex f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\cdots+\frac{h^n}{n!}f^{(n)}(x+\tt h),\quad 0<\tt<1, \eex$$ 且 $f^{(n+1)}(x)\neq 0$. 试证: $$\bex \lim_{h\to 0}\tt(h)=\frac{1}{n+1}. \eex$$
作业. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, $$\bex f(0)=f(1)=0,\quad \min_{0\leq x\leq 1}f(x)=-1. \eex$$ 试证: $$\bex \max_{0\leq x\leq 1}f''(x)\geq 8. \eex$$
