试判断 $$\bex \int_{-\infty}^{+\infty}x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}\rd x\quad(n\in\bbN) \eex$$ 的敛散性.
解答: $$\bex \int_{-\infty}^{+\infty}x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}\rd x =\int_{-\infty}^{-1}+\int_{-1}^0 +\int_0^1+\int_1^{+\infty} x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}\rd x =I_1+I_2+I_3+I_4. \eex$$ 对 $I_1,I_4$, 由 $$\bex |x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}| \leq |x|^n e^{-|x|^2}, \quad \lim_{|x|\to \infty} \frac{|x|^ne^{-|x|^2}}{1/|x|^2} =\lim_{t\to+\infty} \frac{t^{n+2}}{e^{t^2}}=0 \eex$$ 及比较判别法即知 $I_1,I_4$ 绝对收敛. 而对 $I_2,I_3$, 由 $$\bex \vlm{x} x^ne^{-\sex{x^2+\frac{1}{x^2}}}=0 \eex$$ 知被积函数延拓定义 $x=0$ 后在 $[-1,1]$ 上连续. 综上, 原反常积分绝对收敛.
试证: $$\bex 0\leq f\in C(0,\infty),\ \int_0^\infty f(x)\rd x<\infty \ra \vlm{n}\frac{1}{n}\int_0^n f(x)\rd x=0. \eex$$
证明: 由 $$\bex 0\leq f\in C(0,\infty),\ \int_0^\infty f(x)\rd x<\infty \eex$$ 及 Cauchy 收敛原理知 $$\bex {\color{red}\forall\ \ve>0,}\ \exists\ N_1,\st n\geq N_1\ra \int_{N_1}^n f(x)\rd x<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 又对该 $N_1$, 由 $$\bex \vlm{n}\frac{1}{n}\int_0^{N_1} f(x)\rd x=0 \eex$$ 知 $$\bex {\color{red}\exists\ N}>N_1,\st n\geq N\ra \frac{1}{n}\int_0^{N_1} f(x)\rd x<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 于是 $$\bex {\color{red}n\geq N\ra \frac{1}{n}\int_0^n f(x)\rd x =\frac{1}{n}\int_0^{N_1} f(x)\rd x +\frac{1}{n}\int_{N_1}^n f(x)\rd x <\ve.} \eex$$
