定理. 调和级数 $\dps{\vsm{n}\frac{1}{n}}$ 是发散的.
证明. 设 $$\bex a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}, \eex$$ 则 $a_n$ 递增, 而 $\dps{\vlm{n}a_n=l\in (1,\infty]}$. 若 $l\in (0,\infty)$, 则 $$\bex \vsm{n}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\vsm{n}\frac{1}{n}=\frac{l}{2}, \eex$$ $$\bex \vsm{n}\frac{1}{2n-1}=\vsm{n}\frac{1}{n}-\vsm{n}\frac{1}{2n} =l-\frac{1}{2} =\frac{l}{2}. \eex$$ 于是 $$\bex \frac{l}{2}=\vsm{n}\frac{1}{2k}<\vsm{n}\frac{1}{2n-1}=\frac{l}{2}. \eex$$ 这是一个矛盾. 而 $l=\infty$.
2015年7月4号 张祖锦 赣南师范学院数学与计算机科学学院 邮箱: zhangzujin361@163.com
