该试卷分两部分: 分析 $5$ 题 (共 $50$ 分), 代数 $5$ 题 (共 $50$ 分). 考试时间: $120$ 分钟
1. ($10'$) 对哪些实数 $\al$, 级数 $\dps{\vsm{n}\sex{\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}}^\al}$ 收敛?
2. ($6'$) 设 $y$ 是 $[0,1]$ 上 $C^1$ 光滑实函数, 满足方程 $$\bex y''(x)+y'(x)-y(x)=0,\quad x\in (0,1), \eex$$ 且 $y(0)=y(1)=0$. 试证: $y(x)=0,\ x\in [0,1]$.
3. ($10'$) 设 $f$ 是 $\bbR^2$ 上的有界连续实函数, 定义 $$\bex g(x)=\int_{\bbR} \frac{f(x,t)}{1+t^2}\rd t,\quad x\in\bbR. \eex$$ 试证: $g(x)$ 是 $\bbR$ 上的连续函数.
4. ($10'$) 设 $f$ 是 $[1,\infty)$ 上连续可微实函数, 满足 $f(1)=1$, 且 $$\bex f'(x)=\frac{1}{f^2(x)+x^2},\quad x\in (1,\infty). \eex$$ 试证: $\dps{\vlm{x}f(x)}$ 存在且不超过 $\dps{1+\frac{1}{4}\pi}$.
5. ($14'=2\times 7'$) 设 $f$ 是 $[0,1]$ 上连续实函数, 计算下列极限并证明你的结论: (1). $\dps{\vlm{n}\int_0^1 x^nf(x)\rd x}$; (2). $\dps{\vlm{n}n\int_0^1 x^nf(x)\rd x}$.
6. 对整数 $a,b$, 定义 $a\equiv b\ (\mod m)$ 当且仅当 $m\mid(a-b)$ (即 $m$ 整除 $a-b$). 正整数 $m$ 取何值时, 一下线性方程组有解? $$\bex \sedd{\ba{rrrrrrl} x&+&2y&-&z&\equiv&1\ (\mod m)\\ 2x&-&3y&+&z&\equiv&4\ (\mod m)\\ 4x&+&y&-&z&\equiv&9\ (\mod m) \ea} \eex$$
7. 设 $\tt$ 是实数, $n$ 是自然数, 求 $$\bex \sex{\ba{cc} e^{-i\tt}&2i\sin \tt\\ 0&e^{i\tt} \ea}^n. \eex$$
8. 设 $A,B\in M_n(\bbC)$ ($n$ 阶复矩阵), 回答以下问题并说明理由: (1). $AB$ 与 $BA$ 是否相似? (2). $AB$ 与 $BA$ 是否有相同的特征多项式? (3). $AB$ 与 $BA$ 是否有相同的极小多项式?
9. 证明实数域上的有限维线性空间不可能是有限个真子空间的并, 再讨论有限域情形.
10. 设 $T:V\to V$ 是复数域 $\bbC$ 上有限维线性空间 $V$ 上的幂零算子 (即存在正整数 $k$, 使得 $T^k=0$), $I$ 是单位算子. 求线性算子 $S$, $Q$ 使得 $S^2=I+T$, $Q(I+T)=I$.
