北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题

简介: 本文来自TangSong.   1. (10)\bbR3 上定义线性变换 \scrA, \scrA 在自然基 \[\varepsilon_1=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\varepsilon_2=...

本文来自TangSong.

 

1. (10)\bbR3 上定义线性变换 \scrA, \scrA 在自然基 ε1=(100),ε2=(010),ε3=(001)

下的矩阵为 (011001000)
\bbR3 的一组基, 使得 \scrA 在这组基下具有 Jordan 型. 

 

2. (10) 3 阶实矩阵 A 的特征多项式为 x33x2+4x2. 证明A 不是对称阵也不是正交阵. 

 

3. (15) 在所有 2 阶实方阵上定义二次型 f:X\tr(X2), 求 f 的秩和符号差. 

 

4. (15)V 是有限维线性空间, \scrA,\scrBV 上线性变换满足下面条件:

(1) \scrA\scrB=\scrO;  

(2) \scrA 的任意不变子空间也是 \scrB 的不变子空间;  

(3) \scrA5+\scrA4+\scrA3+\scrA2+\scrA=\scrO.     

证明 \scrB\scrA=\scrO

 

5. (15)V 是全体次数不超过 n 的实系数多项式组成的线性空间. 定义线性变换\scrA:f(x)f(1x). 求 \scrA 的特征值和对应的特征子空间. 

 

6. (15) 计算行列式.各行底数为等差数列,各列底数也为等差数列,所有指数都是50: |150250350100502503504501015010050101501025019950|.

 

 

7. (20)V 是复数域上有限维线性空间, \scrAV 上可线性变换, \scrA 在一组基下矩阵为 F. 证明:

(1) 若 \scrA 可对角化, 对任意 \scrA 的不变子空间 U, 存在U 的一个补空间 W\scrA 的不变子空间;

 (2) 若对任意 \scrA 的不变子空间 U, 存在 U 的一个补空间 W\scrA 的不变子空间,证明 F 可对角化. 

 

8. (20) 平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆或圆. 详细论证这一点. 

 

9. (15) 平面 Ax+By+Cz+D=0 与双曲抛物面 2z=x2y2 交于两条直线. 证明 A2B22CD=0

 

10. (15) 正十二面体有 12 个面, 每个面为正五边形, 每个顶点连接 3 条棱. 求它的内切球与外接球半径比. 

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