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1. (10′) 在 \bbR3 上定义线性变换 \scrA, \scrA 在自然基 ε1=(100),ε2=(010),ε3=(001)
2. (10′) 3 阶实矩阵 A 的特征多项式为 x3−3x2+4x−2. 证明A 不是对称阵也不是正交阵.
3. (15′) 在所有 2 阶实方阵上定义二次型 f:X→\tr(X2), 求 f 的秩和符号差.
4. (15′) 设 V 是有限维线性空间, \scrA,\scrB 是 V 上线性变换满足下面条件:
(1) \scrA\scrB=\scrO;
(2) \scrA 的任意不变子空间也是 \scrB 的不变子空间;
(3) \scrA5+\scrA4+\scrA3+\scrA2+\scrA=\scrO.
证明 \scrB\scrA=\scrO.
5. (15′) 设 V 是全体次数不超过 n 的实系数多项式组成的线性空间. 定义线性变换\scrA:f(x)→f(1−x). 求 \scrA 的特征值和对应的特征子空间.
6. (15′) 计算行列式.各行底数为等差数列,各列底数也为等差数列,所有指数都是50: |150250350⋯10050250350450⋯10150⋮⋮⋮⋱⋮100501015010250⋯19950|.
7. (20′) 设 V 是复数域上有限维线性空间, \scrA 是 V 上可线性变换, \scrA 在一组基下矩阵为 F. 证明:
(1) 若 \scrA 可对角化, 对任意 \scrA 的不变子空间 U, 存在U 的一个补空间 W 是 \scrA 的不变子空间;
(2) 若对任意 \scrA 的不变子空间 U, 存在 U 的一个补空间 W 是 \scrA 的不变子空间,证明 F 可对角化.
8. (20′) 平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆或圆. 详细论证这一点.
9. (15′) 平面 Ax+By+Cz+D=0 与双曲抛物面 2z=x2−y2 交于两条直线. 证明 A2−B2−2CD=0.
10. (15′) 正十二面体有 12 个面, 每个面为正五边形, 每个顶点连接 3 条棱. 求它的内切球与外接球半径比.