2016年4月
一、i)设$D$为$\mathbb{R}^n$上的一个区域$f:D\to \mathbb{R}^n$为连续可微映射.试叙述关于映射$f$的逆映射定理(包括条件和结论).
ii)试利用逆映射定理证明不存在从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^1$的连续可微的单射.
二、给定$\mathbb{R}^3\backslash\{0\}$上的向量场
\[\overrightarrow v = \left( {\frac{x}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{y}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}},\frac{z}{{{{\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}} \right).\]
记$\overrightarrow n$为$\mathbb{R}^3$中的单位球面$S^2$的单位外法向量场.试求积分
\[\int_{S^2}\overrightarrow v\cdot \overrightarrow n d\sigma.\]
三、设定义在$\mathbb{R}$上周期为$2\pi$的函数$f$在区间$(-\pi,\pi]$上的取值为$f(x)=x$.
i)试给出其Fourier级数,求出Fourier级数的和函数,并说明此级数是否在$\mathbb R$上一致收敛.
ii)试利用上述Fourier级数及Parseval等式求级数$\sum_{n\geq1}\frac1{n^2}$的和.
四、设$f(x)$在单位圆盘$|z|<1$上解析,满足$|f(z)|<1$,并且$f(\alpha)=0$,其中$|\alpha|<1$.
1.试证明当$|z|<1$时成立\[\left| {f\left( z \right)} \right| \le \left| {\frac{{z - \alpha }}{{1 - \overline \alpha z}}} \right|.\]
2.试给出上面的不等式中等号成立的充要条件.
五、给定$A\in M_n(\mathbb C)$.令$f(x)$为其特征多项式, $g(x)\in \mathbb C [x]$是一个整除$f(x)$的$n-1$次多项式.求$g(A)$可能的秩,并说明理由.
六、设$V$是复数域上的$n$维线性空间, $\sigma$为$V$上的一幂幺变换(即:存在正整数$k$使得$\sigma^k=1_V$, $1_V$是$V$上的恒等变换).设$W$为$V$的$\sigma-$不变子空间.证明$V$中存在$\sigma-$不变子空间$W'$使 得$V=W\oplus W'$.
转自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=36021
