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2016年9月17日，国科大举行硕转博公共基础课考试，试题分三个方向，考试满90分才算合格！
分析
一、 求I=∫2π01a+cosθdθ,a>1.
二、 设复变函数f(z)为整函数,且存在正整数n以及常数R>0,M>0,使得当|z|>R时,有|f(z)|≤M|z|n.试证明: f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.
三、 陈述Lebesgue控制收敛定理并证明limn→+∞∫∞0ln(x+n)ne−xcosxdx=0.
四、 陈述开映射定理并证明:设‖⋅‖1和‖⋅‖2是线性空间X上的两种范数,且使得(X,‖⋅‖1)和(X,‖⋅‖2)都是完备的.若存在常数a>0使得对任意x∈X,有‖x‖2≤a‖x‖1,则一定存在常数b>0,使得对任意x∈X,有‖x‖1≤b‖x‖2.
代数
一、 设a和b是群G的元素,阶数分别为m和n, (m,n)=1且ab=ba.证明ab的阶为mn.
二、 设Sn是{1,2,⋯,n}上的n次对称群.证明:
1) S={σ|σ∈Sn,σ(1)=1}是Sn的子群;
2) {(1),(1,2),(1,3),⋯,(1,n)}组成S在Sn中的一个左陪集代表元素.
三、 设群G作用在集合X上.记n为X在G作用下的轨道个数,对任意a∈X,记Ωa={ga|g∈G}是a所在的轨道, Ga={g∈G|ga=a}为a的固定子群.对任意g∈G,记f(g)为X在g作用下的不动点个数.证明:
1) b∈Ωa⇔Ωa=Ωb;
2) 对任意g∈G,有Gga=gGag−1;
3) ∑g∈Gf(g)=n|G|.
四、 设R,S是环, f:R→S是环的同态.证明同态核kerf是环R的理想,并且映射
F:R/kerf→S¯r↦f(r)
是环的单同态,特别地: F:R/kerf→Imf是环的同构.
五、 证明多项式x2+x+1与x3+x+1在Z2上不可约,并求出有限域Z2上的全部三次不可约多项式.
几何拓扑
一、 在实数集R上定义一个拓扑,使其包含(0,2)与(1,3),且包含尽可能少的开集.
二、 设X是一个拓扑空间, A与B是X的子集, ¯A与¯B分别为A与B的闭包.证明若A⊂B,则¯A⊂¯B.
三、 设{Xn}是具有标准拓扑的实数集R中的数列,其中xn=(−1)nn.
1) 证明每个含0的邻域都包含某个开区间(−a,a);
2) 对任意的a>0,存在N∈Z+,使得当n≥N时,有xn∈(−a,a).
四、 求E3中曲线r(t)=(acost,asint,bt)的曲率和挠率,其中a和b是不为0的常数.
五、求E3中曲面r(u,v)=(ucosv,usinv,v)的高斯曲率和平均曲率.
一、（50分）简述以下概念和原理：
(1) 对偶原理；
(2) 分离性原理；
(3) 最小实现；
(4) 平衡点；
(5) 渐进稳定性。
二、（20分）判断下述系统是否能控：
˙x=Ax+bu=[−11000−10000110001]x+[100−1]u.
三、（20分）判断下述系统是否能观测：
{˙x=Ax+bu=[010001−2−4−3]x+[100]u,y=cx=[142]x.
四、（20分）判断下述系统的稳定性：
{˙x1=x2,˙x2=−x1.
五、（20分）证明线性系统能观测性在输出反馈下保持不变。
六、（20分）设开区域D满足0∈D⊂Rn。考虑系统˙x=f(x),
(i) 当x∈D−{0}时V(x)>0，且V(0)=0,
(ii) ˙V(x)≤0,x∈D,
证明x=0稳定。
一、（15分）数列{an}满足关系式an+1=an+nan,a1>0.求证limn→∞n(an−n)存在.
二、（15分）设f(x)在(a,b)内二次可导,且存在常数α,β,使得对于∀x∈(a,b)
f′(x)=αf(x)+βf″(x),
三、（15分）求幂级数∑∞n=0n3+2(n+1)!(x−1)n的收敛域与和函数.
四、（15分）设f(x)是R上有下界或者有上界的连续函数且存在正数a使得f(x)+a∫xx−1f(t)dt
五、（15分）设f(x,y)在x2+y2≤1上有连续的二阶偏导数, f2xx+2f2xy+f2yy≤M.若f(0,0)=0,fx(0,0)=fy(0,0)=0,证明|∬x2+y2≤1f(x,y)dxdy|≤π√M4.
六、（15分）已知A=(−√32−1212−√32),
七、（15分）已知A=(1234),
八、 （15分）在R4中,α=(1,1,−1,1),β=(1,−1,1,1),γ=(1,0,1,1),M=(α,β,γ),
九、（15分）已知线性空间M={(x,y)|x−2y+z=0},求u=(1,2,3)′在M上的正交投影.
十、 （15分）设u,v∈Rn,若u′u=v′v,证明存在n阶正交矩阵Q,使得Qu=v,Qv=u.
