着实一道好题, 把等价关系, 自然映射, 投射, 映射的原像, 映射的像种种都考查了一遍. 看到证明, 能自己写出每个推理的理由吧.
$\bex\bea x\in p^{-1}[p(A)]&\lra p(x)\in p(B)\\ &\lra \exists\ y \in B,\st p(x)=p(y)\\ &\lra \exists\ y\in B,\st xRy\\ &\lra \exists\ y\in B,\st yRx\\&\lra \exists\ y\in B,\st (y,x)\in R\\ &\lra (y,x)\in p_1^{-1}(B)\cap R\\ &\lra x\in p_2[p_1^{-1}(B)\cap R]. \eea\eex$$
