迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。
基本思想
通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。
此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。
操作步骤
(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。
单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。
迪杰斯特拉算法图解
以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。
初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！
第1步：将顶点D加入到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。
第2步：将顶点C加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。
第3步：将顶点E加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。
第4步：将顶点F加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。
第5步：将顶点G加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。
第6步：将顶点B加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。
第7步：将顶点A加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。
此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。
迪杰斯特拉算法的代码说明
以"邻接矩阵"为例对迪杰斯特拉算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。
1. 基本定义
// 邻接矩阵 typedef struct _graph { char vexs[MAX]; // 顶点集合 int vexnum; // 顶点数 int edgnum; // 边数 int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵 }Graph, *PGraph; // 边的结构体 typedef struct _EdgeData { char start; // 边的起点 char end; // 边的终点 int weight; // 边的权重 }EData;
Graph是邻接矩阵对应的结构体。
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
EData是邻接矩阵边对应的结构体。
2. 迪杰斯特拉算法
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<malloc.h> #include<string.h> #define MAX 100 #define INF (~(0x1<<31)) typedef struct Graph { char vexs[MAX]; int vexnum; int edgnum; int matrix[MAX][MAX]; } Graph,*PGraph; typedef struct EdgeData { char start; char end; int weight; } EData; static int get_position(Graph g,char ch) { int i; for(i=0; i<g.vexnum; i++) if(g.vexs[i]==ch) return i; return -1; } Graph* create_graph() { char vexs[]= {'A','B','C','D','E','F','G'}; int matrix[][7]= { {0,12,INF,INF,INF,16,14}, {12,0,10,INF,INF,7,INF}, {INF,10,0,3,5,6,INF}, {INF,INF,3,0,4,INF,INF}, {INF,INF,5,4,0,INF,8}, {16,7,6,INF,2,0,9}, {14,INF,INF,INF,8,9,0} }; int vlen=sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]); int i,j; Graph *pG; if((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph)))==NULL) return NULL; memset(pG,0,sizeof(pG)); pG->vexnum=vlen; for(i=0; i<pG->vexnum; i++) pG->vexs[i]=vexs[i]; for(i=0; i<pG->vexnum; i++) for(j=0; j<pG->vexnum; j++) pG->matrix[i][j]=matrix[i][j]; for(i=0; i<pG->vexnum; i++) { for(j=0; j<pG->vexnum; j++) { if(i!=j&&pG->matrix[i][j]!=INF) pG->edgnum++; } } pG->edgnum/=2; return pG; } void print_graph(Graph G) { int i,j; printf("Matrix Graph: \n"); for(i=0; i<G.vexnum; i++) { for(j=0; j<G.vexnum; j++) printf("%10d ",G.matrix[i][j]); printf("\n"); } } EData* get_edges(Graph G) { EData *edges; edges=(EData*)malloc(G.edgnum*sizeof(EData)); int i,j; int index=0; for(i=0; i<G.vexnum; i++) { for(j=i+1; j<G.vexnum; j++) { if(G.matrix[i][j]!=INF) { edges[index].start=G.vexs[i]; edges[index].end=G.vexs[j]; edges[index].weight=G.matrix[i][j]; index++; } } } return edges; } void dijkstra(Graph G,int vs,int prev[],int dist[]) { int i,j,k; int min; int tmp; int flag[MAX]; for(i=0;i<G.vexnum;i++) { flag[i]=0; prev[i]=vs; dist[i]=G.matrix[vs][i]; } flag[vs]=1; dist[vs]=0; for(i=1;i<G.vexnum;i++) { min=INF; for(j=0;j<G.vexnum;j++) { if(flag[j]==0&&dist[j]<min) { min=dist[j]; k=j; } } flag[k]=1; for(j=0;j<G.vexnum;j++) { tmp=((G.matrix[k][j]==INF)?INF:(min+G.matrix[k][j])); if(flag[j]==0&&tmp<dist[j]) { dist[j]=tmp; prev[j]=k; } } } printf("dijktra(%c):\n",G.vexs[vs]); for(i=0;i<G.vexnum;i++) printf(" shortest (%c,%c)=%d\n",G.vexs[vs],G.vexs[i],dist[i]); } int main() { Graph *pG; pG=create_graph(); print_graph(*pG); int prev[MAX]; int dist[MAX]; dijkstra(*pG,3,prev,dist); int i; for(i=0;i<pG->vexnum;i++) printf("%c %c \n",pG->vexs[prev[i]],pG->vexs[i]); }
运行结果：
