继续一周一次的课堂笔记 :D 昨天去晚了站着听讲，感觉好好啊，注意各种集中。想想整个教室里面就是我和老师是站着的，自豪感油然而生。
第二次课讲的东西依旧比较简单，是这本书第二章的前半部分。作为一个好久之前已经预习过的孩子，我表示万分的得意（最小二乘法难道不是三四年前就学过的？话说以后我再面人的时候，就让他推导最小二乘估计量，嘻嘻...考验一下基本功）。
------------原谅我的废话，笔记开始------------
简单预测方法：最小二乘法（以下沿用计量经济学的习惯，简称OLS）
OLS实在是太普遍了，我就不赘述细节了。OLS的思想就是，基于已有的样本信息，找出一条直线，让预测值与真实值之间的残差平方和最小，即∑n(y−y^)2最小。其中，y为真实的样本观测值（已有样本），而y^是OLS的预测值。用图来讲的话，X为一维向量的时候，就是用一条直线来最好的拟合各个样本点。
这里就很明显了，首先OLS假设是一条直线。那么就是一个参数模型，即我们需要假设一个未知的参数β，构成一个线性方程y=βx，然后再去估计β的值。然后呢，直线会有很多条，所以我们要找到一个目标——比如这里，就是最小化残差平方和RSS。换言之，我们寻找的就是最优的向量β^使得RSS最小。
解这个最优化问题很简单，我就不重复了。最后解得的最优估计量为：
β^=(X′X)−1X′Y
这里写成矩阵形式，比较简单。X为一维向量的时候，可以改写成∑形式，我个人不大喜欢，就不展开了。
简单预测方法：K近邻（k nearest neighbor）
K近邻的思想就更简单了。不就是想预测某个点x对应的y么？那么就把它的邻居都找来，平均一下好了。不是有句话叫做什么“一个人的收入就大概是他的圈子收入的平均值么？”
所以 y^=mean(yi|xi∈Nk(x))，这里Nk(x)表示点x的K近邻。至于这个近邻怎么定义嘛，嘻嘻，很简单啊，欧几里德距离就可以嘛~
评语：吴老师对于这两个算法的直观评价是，OLS呢就是勤奋的学生，预测前先做足功课，预测的时候只要知道X，噼里啪啦一下子y就估计出来了。然而knn则是一个临时抱佛脚的学生，预测的时候开始找自己的k近邻，然后把它们平均一下就好了。哈哈，大意如此，大家可以体会一下这种精神。我个人感觉呢，OLS属于以不变应万变的，而knn则是见机行事的。
统计决策理论(Statistical Decision Theory)
说了这么多，这个模型好不好到底怎么判读呢？凡事总得有个标准呢。这一系列的标准或者说准则，就是统计决策理论了。
首先呢，大致我们需要对X,Y有个分布上的描述：用P(X,Y)记作向量(X,Y)的联合分布，然后p(X,Y)为其对应的密度函数。之后为了估计Y，我们会有很多很多模型，即各种f(X)，而这些f(X)组成的函数空间记为F。
然后我们定义一个损失函数，比如在均方误差意义下，L(Y,f(X)=(Y−f(X))2，这样就有了一个选择的标准——使得损失函数的期望最小：EPE(f)=E(Y−f(X))2=∫[y−f(x)]2P(dx,dy)。接下来就是，到底在F空间里面，哪一个f最符合这个标准呢？
首先自然是把联合分布变为条件分布。这个idea显而易见——我们总是知道X的（原谅我吧，全中文确实比较难写，偶尔穿插英文一下 ^_^）。所以conditional on X，我们就有了
EPE(f)=∫[y−f(x)]2P(dx,dy)=∫x{∫y[y−f(x)]2p(y|x)dy}p(x)dx
去解最小化问题，最终我们得到的就是在每个点X上， f(X)=E(y|X=x)。通俗的讲就是，对于每个点预测，把和它X向量取值一样的样本点都找出来，然后取他们的平均值就可以了。很直观的不是么？这里也有点最大似然的想法呢——比如预测一个男孩的身高，最保险的就是把和它同龄的其他男孩的身高平均一下，不是么？
但是说来简单啊，很多时候P(X,Y)都是未知的，根本无法计算嘛。所以只能近似：
- 回忆一下knn，就是放松了两点：1) xk取的是x的近邻，而不一定是x； 2)用样本平均数代替了期望
- 而OLS呢，也是最后在E(β)=E[(X′X)−1X′Y]这里，用样本平均代替了期望。
近似嘛，自然有好的近似和不好的近似。很显然的，当样本比较大、尤其是比较密集的时候，x的邻居应该都离x很近，所以这个误差可以减小；此外，当样本很大的时候，根据大数定律，平均数收敛于期望。所以，这两种算法应该说，都在大样本下会有更好的效果。
模型选择、训练误差与测试误差、过拟合
这里讲的比较简单。模型选择就是F的选择，即选择哪一类函数空间F，然后再其中找/估计最优的f(X)。很显然，如果只有若干个有限的样本，我们总能把各个样本用直线或者曲线依次连起来，这样的话就有无数个f可以作为此问题的解。显然这不是我们想要的——这样的称为“不设定问题”，即可能无解、可能多个解、还可能因为一点点X的变化导致整个解的解答变化。因此我们需要先设定一个解的类别。
训练误差：预测模型估计值与训练数据集之间的误差。RSS就是一个典型的训练误差组成的残差平方和。
测试误差：用训练集以外的测试数据集带来的误差，显然我们更关心的是测试误差——训练总能训练的很好，让损失函数期望最小，然而测试集则不一定这样。一般说来，测试误差>训练误差。
过拟合：选择一个很复杂的f，使得训练误差很小，而实际的测试误差不一定小。最极端的就是刚才说的，把训练集的点一个个依次连起来...训练误差肯定是0是不是？
我们关心的自然是怎么降低测试误差。显然这东西会跟训练误差有关，但是它还跟f的复杂度有关。最最棘手的就是，f的复杂度是一个难以衡量的问题。早期的研究有用自由度来衡量这个复杂度的，但是也不是那么的靠谱...后面的有人鼓捣出来PAC(使得近似正确的概率最大——吴老师原话)，还有一个VC来衡量复杂度——但几乎实践中无法计算，没几个计算出来的。嗯，水很深哇。
