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一、正规化方程概念
假设我们有m个样本。特征向量的维度为n。因此，可知样本为{(x(1),y(1)), (x(2),y(2)),... ..., (x(m),y(m))},其中对于每一个样本中的x(i),都有x(i)={x1(i), xn(i),... ...,xn(i)}。令 H(θ)=θ0 + θ1x1 +θ2x2 +... + θnxn，则有
若希望H(θ)=Y，则有
X · θ = Y
我们先来回忆一下两个概念：单位矩阵 和 矩阵的逆，看看它们有什么性质。
（1）单位矩阵E
AE=EA=A
（2）矩阵的逆A-1
要求：A必须为方阵
性质：AA-1=A-1A=E
再来看看式子 X · θ = Y
若想求出θ，那么我们需要做一些转换：
step1：先把θ左边的矩阵变成一个方阵。通过乘以XT可以实现，则有
XTX · θ = XTY
step2：把θ左边的部分变成一个单位矩阵，这样就可以让它消失于无形了……
(XTX)-1(XTX) · θ = (XTX)-1XTY
step3：由于(XTX)-1(XTX) = E，因此式子变为
Eθ = (XTX)-1XTY
E可以去掉，因此得到
θ = (XTX)-1XTY
这就是我们所说的Normal Equation了。
二、Normal Equation VS Gradient Descent
Normal Equation 跟 Gradient Descent（梯度下降）一样，可以用来求权重向量θ。但它与Gradient Descent相比，既有优势也有劣势。
优势：Normal Equation可以不在意x特征的scale。比如，有特征向量X={x1, x2}, 其中x1的range为1~2000，而x2的range为1~4，可以看到它们的范围相差了500倍。如果使用Gradient Descent方法的话，会导致椭圆变得很窄很长，而出现梯度下降困难，甚至无法下降梯度（因为导数乘上步长后可能会冲出椭圆的外面）。但是，如果用Normal Equation方法的话，就不用担心这个问题了。因为它是纯粹的矩阵算法。
劣势：相比于Gradient Descent，Normal Equation需要大量的矩阵运算，特别是求矩阵的逆。在矩阵很大的情况下，会大大增加计算复杂性以及对计算机内存容量的要求。
什么情况下会出现Normal Equation，该如何应对？
（1）当特征向量的维度过多时（如，m <= n 时）
解决方法：① 使用regularization方式
or ②delete一些特征维度
（2）有redundant features（也称为linearly dependent feature）
例如， x1= size in feet2
x2 = size in m2
feet和m的换算为 1m≈3.28feet所以，x1 ≈ 3.282 * x2, 因此x1和x2是线性相关的（也可以说x1和x2之间有一个是冗余的）
解决方法：找出冗余的特征维度，删除之。
三、例子
y(i)表示价格，x(i)表示房屋面积和房间数：
样本数m=47。
step1：对数据进行预处理
给每一个x向量，都增加一个x0=1的分量。
m = 47;
x=[ones(m,1),ex3x];
查看x矩阵：
step2：带入normal equation公式θ = (XTX)-1XTY，求解权重向量。
y=ex3y;
theta = inv(x'*x)*x'*y;
求得θ向量为
如果我想预计“1650-square-foot house with 3 bedrooms”的价格，那么由X * θ = Y可知：
price = [1,1650,3]* theta ;
我们取消matlab中的科学计数法，看看price的价格是多少：
>> format long g
>> price
price = 293081.464334897
我们在给出的样本中，找一个接近的样本比比看：
23号样本的房屋面积为1604，房间数也为3，它的价格为
我们可以尝试画出H(θ)函数的图像看看：
先分别用min和max函数找出房屋面积（x1）和房间个数（x2）的最大和最小值，有
x1∈[852,4478]
x2∈[1,5]
x1=linspace(852,4478,47); x2=linspace(1,5,47);
[xx1,xx2]=meshgrid(x1,x2);
h_theta = theta(1)*ones(47,47) + theta(2)*xx1 + theta(3)*xx2;
surf(xx1,xx2,h_theta);
可以看到H(θ)为如下平面：
梯度下降需要预先确定学习速率、迭代次数，和数据规范化 Feature Scaling。
