【HDU 2013 猴子吃桃子】 尾递归与迭代

大一时的一道C语言练习题，可作为递归和尾递归转迭代的范例。HDU 2013 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2013

题意：猴子摘了sum个桃子，从第1天开始，每天吃掉剩余桃子的一半多一个，第n天时只剩1个桃子，求sum值。

分析：设第 i 天在开吃之前所剩的桃子数为sum(i)，第 i 天要吃掉的桃子数为f(i)，

则问题可表示为：已知sum(n)=1 和如下两个关系式：

　　f(i) = sum(i)/2 + 1　　　　　　(1)

　　sum(i+1) = sum(i) - f(i)　　　 (2)

　　求sum(1)。

求解：(1)(2)式联立，可得递推式sum(i+1) = 2*sum(i) + 2。加上递归基sum(n)=1，可直接写出如下递归函数：

1 int sum(int x){
2     if(x==n) return 1;
3     return 2*sum(x+1) + 2;
4 }

在主函数中调用sum(1)即可得答案。

上面的递归函数属于尾递归（递归调用在最后一步），可以比较直观地转成迭代形式。只需从递归基出发进行n-1次迭代，即可得到同样的结果。代码如下：

1 ans=1;
2 int i=1;
3 while(i++ < n){
4     ans = 2*ans + 2;
5 }

这道题的迭代相比递归，省去了n-1层调用栈，空间复杂度从O(n)降到O(1)，时间复杂度仍为线性的O(n)。

下面再来看一道尾递归转迭代的问题：Fibonacci数。

递推式 fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)，递归基fib(0)=0, fib(1)=1。可写出如下递归函数：

1 int fib(int n){
2     if(n==0) return 0;
3     if(n==1) return 1;
4     return fib(n-1)+fib(n-2);
5 }

通过递归树分析，这一递归版包含了很多的重叠子问题，时间复杂度为O(2ⁿ)，空间复杂度O(n)。

不过它同样属于尾递归，因而可以较方便地转为迭代版：

1 int fibI(int n){
2     int f=0, g=1;     // fib(0), fib(1)
3     int i=1;
4     while(i++ < n){
5         g = g + f;     // fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)
6         f = g - f;     // fib(n-1) = fib(n) - fib(n-2)
7     }
8     return g; // fib(n)
9 }

这里的两个变量f, g在每次迭代后都保存相邻两项fibonacci数，二者滚动向前（图片来自MOOC: TsinghuaX: 30240184X 数据结构(2015秋)），直至抵达最终的fib(n)。

此迭代版本只包含一个线性的while循环，因此时间复杂度为O(n)，仅用两个变量暂存，故空间复杂度为O(1)。