作者：孤剑
今天老师于c1-305对我们所有的作品进行了评选，我们的作品也得到了老师一点赞许，说方法新意！嘿嘿！终于我们忙了一个4天的作品得到了老师的肯定，我们当然高兴了，所以我们小组决定将我们的合作一直延续下去，干出更加辉煌的成绩。
然而，我们的作品任然还有一些细节问题的考虑，今天晚上我们就准备完成，现在将我们的第一部作品放在这里鼓励鼓励自己。也希望有更多的人能一起讨论讨论。
学校名称：沈阳建筑大学<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
参赛队员：刘京城、吕小苏、邓尚俊
指导教师：
面试的时间最优化问题
摘要
本文对B题进行了研究。按照公司的要求，四名求职者的顺序一旦确定，在以下各阶段中面试的顺序将不再改变，由于每个求职者，在三个阶段面试的时间不同（且固定），所以对任意两名求职者A、B，按A在前，B在后的顺序进行面试时，可能存在两种情况：I、当A进行完一个阶段j的面试后，B还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待B完成j-1阶段的面试后，才可对B进行j阶段的面试，这样就出现了，考官等待求职者的情况。II、当B完成j-1的面试后，A还未完成j阶段的面试，所以，B必须等待A完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。以上两种情况，必然延长了整个面试过程。要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要是考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。
首先我们对给出的面试时间表格进行分析，用计算机编程算出任意两个求职者按照不同的顺序参加面试时，求职者等求职者的时间和考官等求职者的时间之和，然后用图论法建模，将算出的时间表达有向赋权图的权值，问题转化成求有向赋权图（图1）中连接四个顶点的路径最短问题。我们利用MATLAB编程，按从小到大的顺序依次找出n-1（n表示参加面试的人数）条权值最小边，然后用人工参与的方式，将找出的n-1条边排出最优顺序。最后，得出丁、甲、乙、丙的顺序为最优方案，共用84分钟。即：三人可在9：24一起离开公司。
想到该问题涉及时间与人数有关，若想节省时间，很值得推广。于是我们又对该模型进行了推广，给出了几个求职者如何求最优方案的方法。
一、问题的提出
四个求职者参加面试，每个求职者在每个阶段面试时间不一样，如何安排面试顺序使所用时间最短，成为我们要解决的重点问题，具体要完成以下工作：
1.??????? 通过建模求解，得出四个求职者完成面试所需时间最短的排列方案；
2.??????? 结合实际情况，找出该模型的推广方案。
二、问题的分析
?要想解决时间的最优化问题，必须满足以下条件：
1.? 任意两个求职者之间，考官等候求职者的时间与求职者等候求职者的时间之和最短；
2.? 选出一条路径，该路径无重复的经过所有顶点，且权值之和为最小。
用图论法建模求最短路径。
<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />
图1
三、模型假设
1.??????? 面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，我们假定该时间间隔为0；
2.??????? 我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关；
3.??????? 参加面试的求职者没有约定他们面试的先后顺序；
4.??????? 假定中途任何一位同学均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者；
5.??????? 面试者都能在8：00准时到达面试地点。
四、名词及符号约定
1.??????? aij(i=1,2,3…;j=1,2,3…)为求职者i在j阶段参加面试所用时间，甲乙丙丁分别对应序号i=1，2，3，4；
2.??????? tDK表示在求职者中任取两名D和K，按D在前K在后的顺序参加面试，在该指定顺序中，K等待D的时间与考官等待K的时间之和，将tDK赋给有向赋权图中由D到K的向量的权值xDK；
3.??????? cDK表示在求职者中任取两名D和K，按D在前K在后的顺序参加面试，在该指定顺序中，D完成面试到K完成面试的时间间隔；
4.??????? S为最优路径的总时间。
五、模型的建立及分析
1.??????? 由题中所给的数据构成原始时间矩阵。Aij=
a<?xml:namespace prefix = st1 ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" />11???????? a12??????? a13
a21??????? a22??????? a23
a31??????? a32??????? a33
a14??????? a43??????? a43
????????????? 为：
12????????? 15????????? 20
10????????? 20????????? 18
20????????? 16????????? 10
8??????????? 10????????? 15
2.??????? 求有向赋权图的权值，并构造该矩阵。
由题意分析，求权值tDK可分为三种情况；
1.????? 当a22-a11>=0，a23-a12>=0，说明若按顺序2—>1（乙—>甲）则1（甲）想进入第二阶段参加面试，需等候2（乙）的时间为（a22-a11），想进入第三阶段面试需等候2（乙）的时间为（a23-a12）。则：t21=(a22-a11)+(a23-a12)
此时时间差c21=a13，因为1（甲）求职者是在等候2（乙）求职者完成第三阶段的面试后才进入第三阶段进行面试，而1（甲）求职者在第三阶段面试共需时间a13，即是他俩完成各自面试的时间差值；
2.??????? 当a22-a11>0，a23-a12，说明按照顺序2—>1（乙—>甲）进行面试，1（甲）想进入第二阶段参加面试，需等候2（乙）的时间为（a22-a11），想进入第三阶段面试，第三阶段的主考官需等候1（甲）求职者的时间为（a23-a12），则：t21=（a22-a11）+|a23-a12|
此时时间差c21=| a23-a12 |+a13，因为第3阶段的主考官在给1（甲）进行面试前已经等候的时间为|a23-a12|，而1（甲）在进行第三阶段的面试时间是a13，故是两时间之和；
3.??????? 当a22-a11，按顺序2—>1（乙—>甲）进行面试，第二阶段主考官需等候1（甲）求职者的时间为|a22-a11|，而这段时间的拖延，导致了第三阶段的考官也等候1（甲）的时间为| a22-a11 |，不管a23-a12>0，还是a23-a12即不论后段是主考官在等,还是学生在等，这种顺序所用的总时间t21=|2*（ a22-a11） |+| a23 – a12 | 时间差c21=2 * | a22-a11 |+| a23 – a12 | + a13
算法总结：
?????? 通过以上假设讨论，我们总结出计算权值tDK及时间差cDK的方法：
1.??????? 当aD2-aK1>=0时
1)??????? tDK=| aD2-aK1 |+| aD3-aK2 |
2)??????? 当aD3-aK2>=0时，cDK=aK3
3)??????? 当aD3-aK3时，cDK=| aD3-aK2 | + aK3
2.??? 当aD2-aK1时
?????????????????????????????????? ?tDK=| 2*(aD2-aK1)+(aD3-aK2) |
?????????????????????????????????? ?cDK=| 2*(aD2-aK1)+(aD3-aK2) |+aK3
???????????????????? 以上算法可以通过MatLab编程实现（程序源码详见附录1）。经程序实现，得出TDK=
0??? 5?? 6?? 17
10?? 0?? 2? ?20
8?? 16?? 0?? 8
6?? 5?? 21?? 0
3.? 寻找最优路径:我们用MatLab找出TDK中的最短路径（程序源码详见附录2），经程序运行得出权值最小的边为：t41,t12,t23。即顺序为丁甲、甲乙、乙丙。可得出最优的顺序为：丁甲乙丙。
4．计算总时间S：S=丁所用总时间+c41+c12+c23=84min
六、模型的推广：
?? 该模式是时间最优化的模型，有推广的价值。例如：车间生产的流水线作业，多个部件如何按照先后顺序在不同车间进行生产等。
?
七、附录：
附录一（程序源代码）：
function rst=CrtPower(a)????????? %Find the Power of the matrix.
%**********************************************************
%? This is Help Information About Power() Function.
%?????????? Find the min number in the matrix.
%???????? Verison:1.0.0? Finish Date:27/08/2004
%?? Usage:
%?????? Power(a)????? %a is matrix .
%?????? return a rst.
%***********************************************************
?
Rows=length(a(:,1));?????? %Get the Rows of the matrix.
Col1=a(:,1);
Col2=a(:,2);
Col3=a(:,3);
rst=zeros(Rows);
for Count1=1:Rows;
??? for Count2=1:Rows;
??????? if Col2(Count1)-Col1(Count2)>=0;
??????????? rst(Count1,Count2)=abs(Col2(Count1)-Col1(Count2))+abs(Col3(Count1)-Col2(Count2));
??????? else
rst(Count1,Count2)=2*abs(Col2(Count1)-Col1(Count2))+abs(Col3(Count1)-Col2(Count2));
??????? end;
??????? if Count1==Count2
??????????? rst(Count1,Count2)=inf;
??????? end;
??? end;
end;
?
a=[13,15,20;10,20,18;20,16,10;8,10,15;];
CrtPower(a)
?
function rst=FindMinParam(a,iCount,Diff)
%**********************************************************
%? This is Help Information About FindMinParam() Function.
%? Find the min number in defferent Rows and Cols the matrix.
%?????????? Verison:1.1.2? Finish Date:28/08/2004????
%?? Usage:
%?????? FindMinParam(a,iCount,Diff)
%?? a is matrix .
%?? iCount is Counter.
%?? Diff is the parame to Find the mininum in Different Row.???????
%***********************************************************
?
if nargout>1
??? error('Too many output arguments!');
else
????? if (nargin==0 | nargin>3)
??????? error('Too many input arguments!');
????? else
??????? Cols=length(a(1,:));
???????????? Rows=length(a(:,1));
??????? if nargin==1
??????????? iCount=Rows * Cols;
??????????? Diff=0;
??????? end;
??????? if nargin==2 | nargin==3
??? ????????if iCount>Rows * Cols
??????????????? error('The search number is too big!');
??????????????? iCount=Rows * Cols;
??????????? elseif iCount
??????????????? error('The mininum is 1');
??????????????? iCount=1;
??????????? else
??????????????? iCount=iCount;
??????????? end;
??????????? if nargin==3
??????????????? if Diff==1
??????????????????? Diff=1;
??????????????? else
??????????????????? Diff=0;
??????????????? end;
??????????? else
??????????????? Diff=0;
??????????? end;
??????? end;
?????? ?
??????? rst=zeros(iCount,3);
???????????? for Count=1:iCount
??????????? Succ=0;
??????????? for RowCount=1:Rows;
??????????????? for ColCount=1:Cols;
??????????????????? ??????? if (min(min(a))==a(RowCount,ColCount));???
??????????????????????? tmpMin=min(min(a));??????????????? ?????
?????????????????????????? ??????? tmpRow=RowCount;???????????????????????
?????????????????????????? ??????? tmpCol=ColCount;
??????????????????????? if Diff==1
??????????????????????????? a(RowCount,:)=inf;????????????????????
?????????????????????????? ??????????? a(:,ColCount)=inf;
??????????????????????? else
??????????????????????????? a(RowCount,ColCount)=inf;
??????????????????????? end;
??????????????????????? Succ=1;????????????????????????????????
??????????????????????? break;?????????????????????????????????
??????????????????? end;
??????????????? end???? %End For
??????????????? if Succ==1?????????????????????????????????????
??????????????????? break;
??????????????? end;
??????????? end;
??????????? if Succ==1?????????????????????????????????????????
??????????????? rst(Count,1)=tmpMin;
????????? ??????rst(Count,2)=tmpRow;
??????????????? rst(Count,3)=tmpCol;
??????????? end;
???????????? end;
???????????? disp(rst);
????? end;
end;
?
a=[13,15,20;10,20,18;20,16,10;8,10,15;];
FindMinParam(CrtPower(a),3,1)；
?
?
八、主要参考文献
| 作者 |
书名 |
出版地 |
出版社 |
出版年份 |
| 赵静 但琦 |
数学建模与数学实验 |
北京 |
高等教育出版社 |
2002年 |
?
?
目前所存在的问题：
1.论文中没有写关键字；
2.论文中对模型的推广没有进行详细的叙述；
3.虽然此文中的方法对于此题目可以解决，但是如果是推广之后，不知道还能不能实现！(知道CrtPower()函数是没有考虑到推广问题的。）
4.格式问题。论文最后没有“英文摘要”，需要补充。
?
ps：附录本题目的原体：
沈阳建筑大学数学建模选拔题:
有四名同学到一家公司参加三个阶段的面试，公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不容许插队（即：在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的），由于4名同学的专业背景不同，所以没人再三个阶段的面试时间也不同，如下表所示：
这四名同学约定他们全部面试完成以后一起离开公司，假定现在时间食早晨8：00，问他们最早何时能离开公司？
（单位：分钟）
秘书面试 主管复试 经理面试
甲 13 15 20
乙 10 20 18
丙 20 16 10
丁 8 10 15
?
?
