POJ-高级机密

题目描述：

       很多情况下，我们需要对信息进行加密。特别是随着Internet的飞速发展，加密技术就显得尤为重要。

       很早以前，罗马人为了在战争中传递信息，频繁地使用替换法进行信息加密。然而在计算机奇数高速发展的今天，这种替换法显得不堪一击。因此密码研究人员正在试图寻找一样易于编码、但不易于解码的编码规则。

       目前比较流行的编码规则称为RSA，是由美国麻省理工学院的三位教授发明的。这种编码规则是基于一种求密去模算法的：对于给出的三个正整数a，b，c，计算a的b次方除以c的余数。

       你的任务是编写一个程序计算a^b mod c

输入格式：

       三个正整数a,b,c从文本文件SECRET.DAT中输入。输入文件只有一行，依次为三个正整数a,b,c,三个正整数之间以一个空格隔开，并且1≤a,b<c≤32768。

输出格式：

       将你的程序的运行结果写入文本文件SECRET.DAT中，要求文件有且只有一行。

输入输出样例

问题分析：

         快速计算乘方的算法，求a的b次方

• 如计算2^13，则传统做法需要进行12次乘法，但是可以优化：

把2*2的结果保存起来看看，是不是成了：4*4*4*4*4*4*2 
再把4*4的结果保存起来：16*16*16*2 
一共5次运算，分别是2*2、4*4和16*16*16*2 
这样分析，我们算法因该是只需要计算一半都不到的乘法了。 
为了讲清这个算法，再举一个例子2^7：2*2*2*2*2*2*2 
两两分开：(2*2)*(2*2)*(2*2)*2 
如果用2*2来计算，那么指数就可以除以2了，不过剩了一个，稍后再单独乘上它。 
再次两两分开，指数除以2： ((2*2)*(2*2))*(2*2)*2 
实际上最后一个括号里的2 * 2是这回又剩下的，那么，稍后再单独乘上它 
现在指数已经为1了，可以计算最终结果了：16*4*2=128

[cpp]  view plain copy

1. long my_power(long a,long b)  
2. {  
3.     long r=1; //用来计算"剩下的"乘积   
4.     if(b==0)  
5.         return 1;  
6.     if(b<0)  
7.         return 0;  
8.     while(b>1)  
9.     {// 一直计算到指数小于或等于1   
10.         if((b&1)!=0) //判断p是否奇数，偶数的最低位必为0  
11.             r*=a; // 若r为奇数，则把"剩下的"乘起来  
12.         a *=a;// 主体乘方  
13.         b/=2;// 指数除以2              
14.     }  
15.     return r*a;// 最后把主体和“剩下的”乘起来作为结果      
16. }  

• 求x的y次方对z取模(x^y)mod z：蒙格马利快速幂模算法
  

X^Y可以看作Y个X相乘，即然有积模分解公式，那么我们就可以把Y个X相乘再取模的过程分解开来，比如：(17^25)%29则可分解为：( ( 17 * 17 ) % 29 * ( 17 * 17 ) % 29 * …… 

如果用上面的代码将这个过程优化，那么我们就得到了著名的蒙格马利快速幂模算法：

[cpp]  view plain copy

1. long Montgomery(long a,long b,long m)  
2. {  
3.     long r=1;  
4.     a %=m;  
5.     while(b>1)  
6.     {  
7.         if((b&1)!=0)  
8.             r = (r*a)%m;  
9.         a = (a*a)%m;  
10.         b/=2;      
11.     }  
12.     return (r*a)%m;      
13. }  

       关于该题的数学模型及相关算法已经在[数论]求解大数的模 a^b%R 中提到过了，并且进行过详细的算法分析。只有一点得提到的也是新手比较容易犯的错误就是直接求a^b的结果然后取余，理论上是可行的，但是基于计算机对数字处理方式的特殊性，尤其是C++语言本身不支持大数的运算，现在最大能处理的数据是64位2进制数(__int64类型)。再看看输入限制，应该来说是远远超出该处理范围的，所以只能用模数的性质来做这一题了。

       当然，O(b)的算法和O(log₂b)这两种时间复杂度的算法当然都是可以考虑的，毕竟题目所限定的b不是很大。当然还是推荐大家再把O(log₂b)的算法再熟悉一下。

#include <iostream>
#include <fstream>
 
using namespace std;
 
// 求a的b次方模n的结果 ( a^b %n )
// 主要考虑到a的b次方可能是一个很大的数字，直接求起结果很可能会导致溢出，所以需要
// 使用特殊的算法求解结果
int modExp( int a, int b, int r )
{
     int Result=1;
 
     while( b!=0 )
     {
         if ( b%2==1 )
              Result = Result*a %r;
 
         a = a * a % r;
         b = b / 2;
     }
     return Result;        
}
 
int main()
{
     ifstream inData("SECRET.DAT", ios::in);
     ofstream outData("SECRET.OUT", ios::out);
 
     int a,b,c;
     inData>>a>>b>>c;
 
     outData<<modExp(a,b,c);   
 
     return 0;
}