3.3 实现该算法并优化其代码
一开始我们可能认为要用两个数组才能实现该算法，其中一个数组保存有待筛选的数字，另一个数组保存对应的Boolean标志，用以表示相应的数字有没有划掉。然而只要稍微思考一下就会发现，我们实际上不需要存储有待筛选的数字。因为其中的大多数值（也就是那些非素数）根本用不到。如果确实需要用到某个值，那我们可以根据它的位置来计算。由于首个值是3，而且后一个值比前一个值大2，因此第i个值就是2i + 3。
于是，只需要把筛选过程中用到的Boolean标志保存下来就可以了，我们用true表示素数，用false表示合数，并且把划掉非素数的操作称为给筛子做记号（mark the sieve）。下面这个函数可以根据给定的素因子（factor）来标注与之相关的所有非素数：
上面这段代码“声明”了一些带有要求的模板参数，而这些要求则称为概念（concept），
我们将在第10章详细讲解此内容，大家现在可以先参考附录C，来熟悉这个术语。（如果你对C++的模板不太熟悉，那么也请查阅附录C，该附录详细解释了模板机制。）
稍后我们将会看到，在调用上面这个函数时，first参数会指向首个还未划掉的factor倍数，而根据刚才的讨论，大家可以知道，这个值就是factor的平方。对于last参数来说，我们将遵循STL的约定，把刚刚超过表格中最后一个元素的那个迭代器传给它，这样一来，last-first就可以表示元素的数量了。
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在开始编写筛选所用的代码之前，我们先考虑下面几条引理（lemma）：
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对于合数c来说，其最小的素因子的平方值，肯定小于等于c。
任何一个比p2小的合数，都会为某个比p小的素数所划掉（也就是说，它是p的倍数）。
如果某一轮是以p为素因子进行筛选的，那么该轮应该从p2开始执行。
如果要找的是小于等于m的所有素数，那么当p2＞m时，整个筛选过程就应该停止。
下面这两条公式，用来在筛选的过程中进行计算：
第i个元素的值：value （i） = 3 + 2i = 2i + 3
值为v的元素所对应的下标：index （v） =
对于第i个元素来说，其数值的k倍与k+2倍之间所间隔的元素数量是：
现在，我们可以试着来实现这个素数筛选函数了：
有人可能认为，既然这个筛选函数必须从头开始完整地运用到某个序列上面，那么它就应该接受一个指向某种数据结构的引用，那种数据结构里面含有由Boolean值所构成的序列。但实际上，我们并没有那么做，而是令调用者把一个指向某段范围开始处的迭代器，以及该范围的长度传进来，以便能够应对更多的数据结构。这些数据既可以存放在STL容器里面，也可以存放在内存块里面，我们并不对此做出限定。请注意，该函数的第二个参数指的是表格的大小n，而不是筛选的上限m。
当前这一轮所要划掉的首个数值，就是筛选所用的那个素因子的平方，而该值在表格中的索引则用index_square变量表示。值得注意的是，在每一轮循环时，我们可能都要用
i + i + 3这个表达式，来计算当前这一轮筛选所使用的素因子，而且还要用另外一些表达式来计算其他的量（这些内容在代码中以斜体标出）。为此，我们可以把每轮循环都要用到的那些式子提取到循环的外面。修改之后的代码，用粗体标出了相关的改动：
敏锐的读者可能会发现，修改之后的代码要对factor变量进行运算，这样做的效率实际上比修改之前还要差一些。修改代码之前，我们只需要在if测试为true的时候才去计算i + i + 3的值，而修改完之后则需要在每次执行循环时，都把这个式子计算一遍。但是大家稍后就会看到，单独用一个factor变量来表示这个式子是很有意义的。更大的问题在于，对index_square变量所做的运算，其开销相对来说比较高，因为要执行两次乘法才行。针对这个问题，我们可以从编译器的优化技术中获得灵感。有一种优化技术叫做强度折减（strength reduction），也就是用开销相对较低的运算，来等效地取代开销较高的运算，例如用加法来实现乘法。既然编译器可以执行这样的优化，那我们同样可以采用手动的办法来实现它。
现在就来详细考虑这两个式子。假如我们把下面两种运算：
那么其中的δfactor和δindex_square，就分别表示factor和index_square变量在前后两轮之间的差值（也就是第i轮和第i+1轮之间的差值）。这两个差值可以这样来计算：
δfactor这一部分很好处理，由于其中的变量i可以消去，因此只需要用常量2来表示它就行了。接下来主要应该考虑的是，怎样对计算δindex_square所需的表达式进行简化。我们对表达式中的各项重新整理之后，可以看出，这条表达式相当于factor(i)与factor(i + 1)的和，其中的factor(i)是当前这一轮已经计算好的，而factor(i + 1)则正是我们紧接着就要计算的。（如果你要在代码中计算多个值，那就应该像本例这样，看看能不能用其中一个值来表示另外的那些值，做到了这一点，或许就可以减少一些计算量。）
用常量2来替换δfactor，并通过变量factor来表示δfactor之后，我们就得到了最终版本的sift函数。这次也用粗体表示其中的改进之处：
习题3.2 用二进制位（以std::vector来实现）、uint8_t、uint16_t、uint32_t及uint64_t等大小不同的数据来衡量素数筛选算法所耗的时间。
习题3.3 通过素数筛选算法来绘制下列函数的图像：
π (n) =小于n的素数个数
n一直取到107，并找出此函数的解析近似（analytic approximation）函数。
如果一个素数的数位按照相反顺序排列之后和原数一样，那么这种素数就叫做回文素数（palindromic prime）。下面列出2至1000之间的素数，并用方框来标注其中的回文素数：
习题3.4 有没有大于1000的回文素数？[1000, 2000]这个区间内，为什么不会出现回文素数？如果我们不用十进制，而是改用十六进制，那么情况是否有所变化？如果改用以任意数n为底的计数方式（也就是n进制）呢？
