改进的数值解析法PCB热建模方法，考虑辐射传热及元件温度计算（Matlab代码实现）

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💥1 概述

首先，简要回顾了关于层压印刷电路板（PCB）结构稳态热分析的数值-解析耦合方法的前期工作。该方法将温度的傅立叶级数解析解与有限体积法相结合，用于对PCB进行热建模。为了进一步模拟带有元件的PCB，使用元件的热阻参数来关联元件温度与耦合方程中的变量数组。为了进一步考虑PCB与环境之间的辐射传热，提出了一种迭代方法。在此迭代过程中，可更新每个表面单元及每个元件的辐射等效换热系数。此外，为了提高效率，该耦合方法中集成了多重网格策略，在金属层和PCB表层区域生成三级离散单元。为了验证迭代方法的有效性，对比了一个简单单层结构模型与在COMSOL Multiphysics中构建的模型。还给出了在考虑辐射传热条件下，一个虚拟DC-DC电源PCB的建模结果并进行了讨论，基于Richardson外推法大约估算了建模精度。

印刷电路板（PCB）的热建模已被视为评估PCB热扩散能力及估算元件温度的有效途径[1]-[14]。历史上，人们研究了一些分析PCB结构有效导热系数的建模方法，例如提取PCB集总导热系数的方法[1,2]以及基于PCB布线图，提取笛卡尔坐标系中正交异性（x、y、z方向）离散导热系数的方法[3,4]。近年来，也有人研究了PCB的等效热阻模型[5]-[7]。针对IC下方PCB过孔和散热垫的布局优化，提出了两种分析型热阻模型和设计优化方法[5]。基于纳米卫星PCB的层间等效热阻，提出了PCB热分析的详细及简化建模方法[6,7]。

另一方面，Mentor的FloTHERM和ANSYS的Icepak也已开发用于PCB热仿真。FloTHERM主要依据与PCB铜覆盖率相关联的有效导热系数，以及基于超过140种PCB构型分析的经验方法[8,9]。但这种方法可能导致元件温度略有高估[9]。

Icepak基于有限元方法（FEM）。基于FEM的软件通常被认为是计算精度较高，但通常需要对结构进行全面离散化，可能会影响运算效率[10]。

本文介绍的热建模方法最初是在[11,12]中提出的，基于温度的傅立叶级数解析解与基于FVM（有限体积法）的离散化耦合。采用这种耦合方法，不必对层压PCB结构进行全面离散，只需对金属层和表面区域进行处理。同时也考虑了PCB轨道中焦耳热的电热分析[11]-[13]。基于这种耦合方法，最初在MATLAB中开发了一个采用笛卡尔坐标均匀网格的测试求解器[12,13]。耦合方法的准确性已通过与COMSOL的建模比较得到验证[12]-[14]。第二部分将简要介绍耦合方法。

然而，建模方法的操作效率受到均匀网格数值离散化的重要影响。因此，引入了多重网格方法。第三部分将解释三层多重网格的生成步骤及三层金属单元的可能相邻情景。

另一方面，使用元件的热阻参数来考虑元件的覆盖情况及其对PCB中热扩散的贡献，并估计其温度。元件的温度与耦合矩阵方程中温度和热流变量数组相关联。相应的数学处理在第四部分给出。

温度的傅立叶级数解析解主要基于对PCB表面平均传热系数（HTC）的假设[13,14]。但在这种简化的假设下，模型中不能直接分析辐射热传递。因此，作为另一项改进，第五部分讨论了一种关联HTC和辐射热传递的迭代方法。第六部分与COMSOL模型相比，给出了方法的验证。

利用改进的耦合方法对一个虚拟的DC-DC电源PCB进行了建模。电路和PCB由在线工具TI WEBENCH® Power Supply自动生成。PCB的热参数和三层离散映射可在第七部分的第一节中找到，同时也可以发现均匀网格与多重网格操作负担的比较。第七部分的第二节给出了建模结果并进行了分析。基于Richardson外推法，也讨论并约算了建模结果的准确性。全部文章见第4部分。

一、研究背景与意义

PCB（印刷电路板）热管理是保障电子设备可靠性的核心问题。传统数值解析法在建模时通常忽略辐射传热或简化元件温度计算，导致模型与实际偏差较大，尤其在高温或元件密集场景下，辐射传热占比显著，传统方法难以满足高精度需求。本研究提出改进的数值解析法，通过结合傅立叶级数解析解与有限体积法，引入辐射传热模块和元件热阻参数，实现更精确的热建模，为PCB热设计提供可靠的理论依据。

二、改进方法的核心创新

1. 耦合傅立叶级数解析解与有限体积法

• 傅立叶级数解析解：用于描述PCB表面温度分布，通过假设平均传热系数（HTC）简化计算，但传统方法无法直接分析辐射传热。
• 有限体积法：离散化求解区域，将连续传热问题转化为代数方程组，适用于复杂几何结构的热分析。
• 耦合策略：结合两者优势，仅对金属层和表面区域进行离散化处理，减少计算量，同时保留解析解的精度。

2. 辐射传热模块的引入

• 斯蒂芬-玻尔兹曼定律：计算元件与基板表面、元件与元件之间、PCB与环境的辐射换热量，公式为：
  

编辑

• 辐射网络模型：将辐射换热问题转化为电路网络问题，通过角系数计算元件间的辐射耦合，纳入整体热平衡方程。

1. 元件温度计算的优化

• 热阻参数关联：使用元件的热阻参数（如结壳热阻RθJC、壳板热阻RθCS）关联元件温度与耦合方程中的变量数组，公式为：
  

Tj=Tc+P⋅RθJC

• 迭代方法：通过迭代更新表面单元及元件的辐射等效换热系数，提高计算效率。

1. 多重网格策略

• 在金属层和PCB表层区域生成三级离散单元，加速收敛速度，提升计算效率。

三、技术实现与验证

1. 模型构建步骤

• 几何建模：定义PCB层压结构、元件布局及材料属性。
• 辐射模块集成：基于斯蒂芬-玻尔兹曼定律计算辐射换热量，建立辐射网络模型。
• 耦合方程求解：结合傅立叶级数解析解与有限体积法，求解整体热平衡方程。
• 迭代优化：通过迭代更新辐射等效换热系数，直至结果收敛。

2. 验证方法

• 与COMSOL对比：对比简单单层结构模型与COMSOL Multiphysics中构建的模型，验证迭代方法的有效性。
• 虚拟DC-DC电源PCB案例：

• 建模参数：PCB尺寸300mm×300mm，厚度4mm，有效热传导系数54 W/(m·K)，有效对流系数15 W/(m²·K)。
• 结果分析：通过镜像热源法计算元件温升，叠加原理确定多热源影响，基于Richardson外推法估算建模精度，结果显示改进方法与COMSOL模型误差小于5%。

四、关键技术与优势

1. 辐射传热的精确模拟

• 传统方法忽略辐射或简化计算，导致高温场景下误差显著。改进方法通过斯蒂芬-玻尔兹曼定律和辐射网络模型，准确计算辐射换热量，提升模型精度。

2. 元件温度的精准计算

• 引入元件热阻参数，关联元件温度与耦合方程变量，避免传统方法中元件温度计算的简化假设，提高结温预测准确性。

3. 计算效率的提升

• 耦合傅立叶级数解析解与有限体积法，减少离散化区域，结合多重网格策略，加速收敛速度，平衡计算精度与效率。

4. 工程适用性

• 方法已通过MATLAB实现，并提供参数化编程和详细注释，适用于计算机、电子信息工程、数学等专业学生的课程设计、期末作业及毕业设计。

五、应用场景与前景

1. 高功率电子设备

• 如LED驱动板、功率放大器、DC-DC电源等，改进方法可精准预测热分布，优化散热设计，避免过热失效。

2. 高性能计算与数据中心

• 在服务器、交换机等设备中，PCB热管理直接影响系统稳定性。改进方法可为散热方案优化提供理论支持。

3. 航空航天与汽车电子

• 在极端温度环境下，辐射传热占比显著。改进方法可提升热建模精度，保障设备可靠性。

4. 未来研究方向

• 多物理场耦合：结合流体-固体耦合分析，模拟强制风冷或液冷场景下的热行为。
• 智能优化算法：集成机器学习或遗传算法，实现散热结构的自动优化设计。
• 先进封装技术：针对Chip-on-Board（CoB）、3D封装等新型结构，拓展热建模方法的应用范围。

📚2 运行结果

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全部运行结果：

链接：https://pan.baidu.com/s/1mr1H1oIGb4djQtg_p1cbCQ

提取码：5e5p

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部分代码：

% The total radiation power is composed of three parts, including the part from the components,

% the part from the top metal layer, and the part from the insulating region of the top side.

function [qRS21,qRM,qRI,qRall]=Radiationbylaw(sigma,Sc,Tc,Ta,dc2,TMu,TIu,LF16,LF4,LPRP,PFMAP,LINS16,LINS4,LINS)

% The part from the components was denoted by the array of qRS21:

qRS21=zeros(21,1);

qRS21(1:3)=sigma*0.9*Sc(1:3).*((Tc(1:3)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);  

% the part from M1, D1, and U1

qRS21(4)=sigma*0.9*Sc(4)*((Tc(4)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

% the part from L1 if zero R胃Jtop of the inductor is assumed

qRS21(5)=sigma*0.88*Sc(5)*((Tc(5)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

% the part from Rfb2

qRS21(6:14)=sigma*0.94*Sc(6:14).*((Tc(6:14)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

% the part from ceramic capacitors

qRS21(15)=sigma*0.88*Sc(15).*((Tc(15)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

% the part from Rfb2

qRS21(16:21)=sigma*0.88*Sc(16:21).*((Tc(16:21)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

% the part from SMD resistors

% The part from the top metal layer was denoted by the array of qRM:

qRM=zeros(LPRP,1);

qRM(1:LF16)= sigma*0.9*16*dc2*((TMu(1:LF16)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

qRM(LF16+1:LF16+LF4)=sigma*0.9*4*dc2*((TMu(LF16+1:LF16+LF4)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

qRM(LF16+LF4+1:LPRP)=sigma*0.9*dc2*((TMu(LF16+LF4+1:LPRP)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

qRMTr=qRM(LF16+LF4+1:LPRP);

qRMTr(PFMAP)=0;  % exclude the calculation of radiation power of the metal cells covered by the component

qRM(LF16+LF4+1:LPRP)=qRMTr;

% The part from the insulating region was denoted by the array of qRI:

qRI=zeros(LINS,1);

qRI(1:LINS16)=sigma*0.9*16*dc2*((TIu(1:LINS16)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

qRI(LINS16+1:LINS16+LINS4)=sigma*0.9*4*dc2*((TIu(LINS16+1:LINS16+LINS4)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

qRI(LINS16+LINS4+1:LINS)=sigma*0.9*dc2*((TIu(LINS16+LINS4+1:LINS)+273.15+Ta).^4-(273.15+Ta)^4);

%

% The total radiation power was calculated as follows:

qRall=sum(qRS21)+sum(qRM) +sum(qRI);

结论

针对印刷电路板（PCB）稳态热分析的数值-解析耦合方法得到了进一步的改进，以便纳入辐射热传递的分析、预测元件的温度信息，并考虑到元件在PCB表面覆盖情况的实际影响。相较于单一均匀网格，采用了多重网格策略生成三级离散单元，大大减少了运算负担。通过使用元件的RθJC和RθJC(top)，可以将其结温和平均壳顶温与层表面的温度分布关联起来。最后，作为整体的PCB层叠结构和元件的热行为得以建模。这种数值-解析建模策略有可能应用于其他工程问题的分析中。

所提出的迭代方法将辐射热传递与各个离散单元及元件壳顶的辐射等效换热系数相关联。通过对简易单层结构的测试求解器与COMSOL模型之间的结果差异较小的事实，验证了迭代方法机制的可行性。迭代方法可能进一步用于解决其他依赖温度的热传递问题。

基于虚拟DC-DC电源PCB的建模结果，进一步验证了改进建模方法的一致性、稳定性、收敛性和守恒性。当然，如果元件制造商能更清晰、全面地声明热参数，那么PCB的热模型可以构建得更加准确。热阻较低且散热量小的元件可主要视为促进PCB内热量扩散的热传导路径。另一方面，PCB中金属层的热量扩散作用显著，相比于元件，PCB表面可能是辐射热传递的主要贡献者。因此，缩小PCB尺寸不仅取决于布局的电气设计规则，也需要考虑热分析的影响。

🎉3 参考文献

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。

[1]Y. Zhang, "Improved Numerical-Analytical Thermal Modeling Method of the PCB With Considering Radiation Heat Transfer and Calculation of Components’ Temperature," in IEEE Access, vol. 9, pp. 92925-92940, 2021, doi: 10.1109/ACCESS.2021.3093098.

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