上一讲我们讲了，对于查询范围固定的应用需求，比如「查找附近的人」，我们可以根据规划好的查询区域大小，均匀划分所有的空间，然后用 GeoHash 将坐标转换为区域编码，以该区域编码作为 Key 开始检索。这样，我们就可以查到并取出该区域中的目标数据，对这些数据进行精准计算然后排序输出了。
但是，并不是所有应用的查询范围都是不变的。在一些基于地理位置的服务中，我们并不关心检索结果是否就在我们「附近」，而是必须要找到「最近」的一批满足我们要求的结果。这怎么理解呢？
我来举个例子，我们在长途自驾游的时候，突然发现车快没油了。这个时候，我们要在一个导航地图中查找最近的 k 个加油站给车加油，这些加油站可能并不在我们附近，但地图又必须要返回最近的 k 个结果。类似的情况还有很多，比如说，我们要查询最近的医院有哪些，查询最近的超市有哪些。那对于这一类的查询，如果当前范围内查不到，系统就需要自动调整查询范围，直到能返回 k 个结果为止。
对于这种需要动态调整范围的查询场景，我们有什么高效的检索方案呢？今天，我们就来探讨一下这个问题。
直接进行多次查询会有什么问题？
我们就以查找最近的加油站为例，一个直观的想法是，我们可以先获得当前位置的 GeoHash 编码，然后根据需求不停扩大查询范围进行多次查询，最后合并查询结果。这么说比较抽象，我们来分析一个具体的位置编码。
假设我们当前地址的 GeoHash 编码为 wx4g6yc8，那我们可以先用 wx4g6yc8 去查找当前区域的加油站。如果查询的结果为空，我们就扩大范围。扩大查询范围的思路有两种。
第一种思路是，一圈一圈扩大范围。具体来说就是，我们第一次查询周边 8 个邻接区域，如果查询结果依然为空，就再扩大一圈，查询再外圈的 16 个区域。如果还是不够，下一次我们就查询再外圈的 24 个区域，依此类推。你会发现，这种方案的查询次数会成倍地增加，它的效率并不高。
另一种思路是，我们每次都将查询单位大幅提高。比如说，直接将 GeoHash 编码去掉最后一位，用 wx4g6yc 再次去查询。如果有结果返回，但是不满足要返回 Top K 个的要求，那我们就继续扩大范围，再去掉一个编码，用 wx4g6y 去查询。就这样不停扩大单位的进行反复查询，直到结果大于 k 个为止。
和第一种查询思路相比，在第二种思路中，我们每次查询的区域单位都得到了大范围的提升，因此，查询次数不会太多。比如说，对于一个长度为 8 的 GeoHash 编码，我们最多只需要查询 8 次（如果要求精准检索，那每次查询就扩展到周围 8 个同样大小的邻接区域即可，后面我就不再解释了）。
这个检索方案虽然用很少的次数就能「查询最近的 k 个结果」，但我们还需要保证，每次的查询请求都能快速返回结果。这就要求我们采用合适的索引技术，来处理 GeoHash 的每个层级。
比如说，如果使用基于哈希表的倒排检索来实现，我们就需要在 GeoHash 每个粒度层级上都分别建立一个单独的倒排表。这就意味着，每个层级的倒排表中都会出现全部的加油站，数据会被复制多次，这会带来非常大的存储开销。那我们是否有优化存储的方案呢？
我们可以利用 GeoHash 编码一维可排序的特点，使用数组或二叉检索树来存储和检索。由于数组和二叉检索树都可以支持范围查询，因此我们只需要建立一份粒度最细的索引就可以了。这样，当我们要检索更大范围的区域时，可以直接将原来的查询改写为范围查询。具体怎么做呢？
我来举个例子。在检索完 wx4g6yc8 这个区域编码以后，如果结果数量不够，还要检索 wx4g6yc 这个更大范围的区域编码，我们只要将查询改写为「查找区域编码在 wx4g6yc0 至 wx4g6ycz 之间的元素」，就可以利用同一个索引，来完成更高一个层级的区域查询了。同理，如果结果数量依然不够，那下一步我们就查询「区域编码在 wx4g6y00 至 wx4g6yzz 之间的元素」，依此类推。
但是，这种方案有一个缺点，那就是在每次调整范围查询时，我们都要从头开始进行二分查找，不能充分利用上一次已经查询到的位置信息，这会带来无谓的重复检索的开销。那该如何优化呢？你可以先想一想，然后我们一起来看解决方案。
如何利用四叉树动态调整查询范围？
上一讲我们讲过，许多系统对于 GeoHash 的底层实现，其实都是使用二进制进行存储和计算的。而二进制区域编码的生成过程，就是一个逐渐二分空间的过程，经过二分后的区域之间是有层次关系的。如果我们把这个过程画下来，它就很像我们之前讲过的树形结构。
因此，我们可以尝试用树形结构来进行索引。这里，我们就要引入一个新的数据结构 四叉树 了。四叉树的树根节点代表了整个空间，每个节点的四个分叉分别表示四个子空间。其中，树根和中间节点不存储数据，只记录分叉指针。而数据只记录在最小的区域，也就是叶子节点上。
如果我们从根节点开始，不停地四分下去，直到每个分支的叶子节点都是最小粒度区域。那这样构建出来的四叉树，每个节点都有四个子节点，就叫作 满四叉树。
对于满四叉树的每个节点，我们都可以编号。换句话说，我们可以按 00、01、10、11 的编号，来区分满四叉树的四个子节点。这样一来，只要我们从根节点遍历到叶子节点，然后将路径上每个节点的编号连起来，那最后得到的编码就是这个叶子节点所代表的区域编码。
好了，现在我们知道了四叉树的结构和特点了，那我们怎么利用它完成自动调整范围的 Top K 检索呢？下面，我们通过一个例子来看看。
假设一个人所属的最小区域编码是 0110，那我们在检索的时候，就以 0110 为 Key，沿着四叉树的对应分支去寻找相应的区域，查询路径为 01-10。如果查找到了叶子节点，并且返回的结果大于 k 个，就可以直接结束检索。如果返回结果不足 k 个，我们就得递归返回到上一层的父节点，然后以这整个父节点的区域编码为目标进行检索。这样，我们就避免了要再次从树根检索到父节点的开销，从而提升了检索效率。
如何利用非满四叉树优化存储空间？
尽管，我们使用以最小区域单位为叶子节点的满四叉树，能够很好的提升检索效率，但是在数据稀疏的时候，许多叶子节点中的数据可能是空的，这就很有可能造成大量的空间浪费。为了避免出现空间浪费，我们有一种改进方案是，使用动态节点分裂的 非满四叉树。
首先，我们可以给每个叶子节点规定一个容纳上限。比如说，我们可以将上限设置为 n。那么，一开始的四叉树只有一个根节点，这个根节点同时也是叶子节点，它表明了当前的全部空间范围。当有数据加入的时候，我们直接记录在这个节点中，查询时也只查询这个节点即可。因此，当插入的数据个数小于 n 时，我们不需要进行任何复杂的查找操作，只需要将根节点的所有数据读出，然后进行距离计算并排序即可。
随着加入的数据越来越多，如果一个叶子节点的容量超出了容纳上限，我们就将该节点进行分裂。首先，我们将该节点转为中间节点，然后，我们会为这个节点生成 1 至 4 个叶子节点（注意：不是一定要生成 4 个叶子节点），并将原来存在这个节点上的数据都转入到对应的叶子节点中。这样，我们就完成了分裂。
不过，有一种极端的情况是，这些数据都会转入到同一个下层叶子节点上。这时，我们就需要继续分裂这个叶子节点，直到每个叶子节点的容量在阈值下为止。
通过这种动态生成叶节点的方案，我们就能得到一棵非满四叉树。和满四叉树相比，它的叶子节点会更少，而且每个叶子节点表示的区域范围也可能是不一样的。这使得非满四叉树具有更好的空间利用率。非满四叉树的查询过程和满四叉树十分相似，也是根据当前的区域编码，找到对应的叶子节点，并根据该叶子节点上存储的数据数量，判断是否要递归扩大范围。这里我就不再详细说了。
如何用前缀树优化 GeoHash 编码的索引？
上面，我们都是用二进制编码来说明的。你可能会问，如果我们使用了 GeoHash 编码方式，是否也可以用类似的检索技术来索引呢？当然是可以的。实际上，对于字符串的检索，有一种专门的数据结构，叫作前缀树（Trie 树）。
前缀树的思路和四叉树非常相似，它也是一种逐层划分检索空间的数据结构。它的根节点代表了整个检索空间，然后每个中间节点和叶子节点都只存储一个字符，代表一个分支。这样，从根节点到叶子节点的路径连起来，就是一个完整的字符串。因此，当使用 GeoHash 编码来表示区域时，我们可以建立一个前缀树来进行索引，前缀树的每个节点最多会有 32 个子节点。
那如何利用前缀树来检索呢？举个例子，当我们查询 wx4g6yc8 这个区域时，我们会沿着 w-x-4-g-6-y-c-8 的路径，检索到对应的叶子节点，然后取出这个叶子节点上存储的数据。如果这个区域的数据不足 k 个，就返回到父节点上，检索对应的区域，直到返回结果达到 k 个为止。由于整体思路和四叉树是十分相似的，这里就不展开细说了。
此外，前缀树除了用在 GeoHash 编码的检索上，也经常用于字典的检索，因此也叫字典树。字典树适用于匹配字符串的检索场合。
总结来说，利用树形结构来划分空间提高检索效率的方案，它的应用非常广泛。对于更高维度空间的最近邻检索，我们也可以使用类似的检索方案来划分空间。比如说，在三维空间中，八叉树就是常见的检索方案。那拓展到更高的维度，如 k 维，我们还可以使用 k-d 树（K-Dimensional Tree）来检索。
k-d 树一种是更通用的，对任意维度都可以使用的检索方案。k-d 树和四叉树、八叉树的检索思路并不相同，它在划分子空间的时候，并不是直接将整个空间划分为 2^k 个子空间，而是会选出最有区分度的一个维度，将该维度的空间进行二分，然后对划分出的子空间再进行同样的二分处理，所以，它实际上是一个二叉树。而且，由于它的分支数和维度 k 的具体值无关，因此具有更好的通用性。
事实上，k-d 树在维度规模不大的场景下，确实具有不错的检索效率。但是，在成百上千的超高维度的场景中，k-d 树的性能会急剧下降。那在高维空间中，我们又该如何快速地查找到最近的 k 个对象呢？这个问题，也是搜索引擎和推荐引擎在很多应用场景中都要解决问题。在后面两讲中，我们会对它作详细讲解。
重点回顾
今天，我们重点学习了，在二维空间中利用四叉树，来快速寻找最近的 k 个元素的方法。
在需要动态调整查询范围的场景下，对于二进制编码的二维空间的最近邻检索问题，我们可以通过四叉树来完成。四叉树可以很好地快速划分查询空间，并通过递归的方式高效地扩大查询范围。但是满四叉树经常会造成无谓的空间浪费，为了避免这个问题，在实际应用的时候，我们会选择使用非满四叉树来存储和索引编码。对于 GeoHash 编码的二维空间最近邻检索问题，我们也能通过类似的前缀树来提高检索效率。
课堂讨论
在非满四叉树的分裂过程中，为什么一个节点不一定会生成 4 个叶子节点？你能举一个例子吗？
