一种基于连续相位频移键控的高效频谱利用新型雷达信号
Jie, Z., Xuewei, X., Tao, J. and Hong, Z. (2019), Novel radar signal to efficiently utilise spectrum based on continuous-phase frequency-shift keying. The Journal of Engineering, 2019: 6745-6749.
这篇论文提出了一种新颖的雷达信号设计框架，旨在解决常规频移键控（FSK）雷达信号因频率切换时的相位突变而导致的频谱泄漏和旁瓣过高的问题。随着现代电磁环境日益复杂和拥挤，对雷达信号频谱特性的精确控制变得至关重要，这不仅能减少对其他无线电设备的干扰，也能提高雷达系统自身在有限信道带宽内的能量利用效率。受到通信系统中为适应带限信道而广泛使用的连续相位频移键控（CPFSK）技术的启发，该研究创造性地将其应用于雷达信号设计中，通过确保信号相位的全程连续性来有效抑制频谱展宽，实现高效的频谱利用。
传统FSK雷达信号模型
在雷达系统中，一个常规的FSK信号通常将整个脉冲在时间上分割为N个等长的子脉冲（或称时间片），每个子脉冲的持续时间为 $T_F$。在这N个时间片内，信号的频率会按照一个预设的序列（如Costas序列或随机序列）在N个离散的频率点 $f_n$ 之间进行跳变。在任何一个时间片内，信号只以一个频率发射，并且在整个脉冲持续时间内，每个频率原则上只使用一次。
这种信号的通用数学模型可以表示为：
$$s(t)=a_{t}u(t)exp[j(2\pi f_{0}t+\phi_{0})]$$其中，$a_t$ 是信号幅度，$f_0$ 为载波频率，$\phi_0$ 是初始相位。核心在于复包络 $u(t)$，其定义为N个子脉冲信号的叠加：$$u(t)=\sum_{n=1}^{N}c_{n}p[t-(n-1)T_{F}]$$在此式中，$p(t)$ 是定义了单个子脉冲形状的调制函数（通常为持续时间 $T_F$ 的矩形脉冲），而 $c_n = exp(j2\pi f_n t)$ 是携带第n个频率信息的编码信号。将这些部分合并，得到FSK信号的完整时域表达式：$$s(t)=a_{t}\sum_{n=1}^{N}p[t-(n-1)T_{F}]exp[j(2\pi(f_{0}+f_{n})t+\phi_{0})]$$
这个模型的根本问题在于，当频率从 $fn$ 跳变到 $f{n+1}$ 时，两个相邻子脉冲的交界处的相位通常是不连续的。这种相位的突变在频谱上表现为产生大量的旁瓣，导致信号能量泄漏到指定带宽之外，造成频谱资源的浪费和潜在的电磁干扰。
图1: FSK雷达信号结构示意图
这张图直观地展示了传统FSK雷达信号在时域上的结构。横轴代表时间，纵轴代表幅度。整个信号的脉冲宽度 $\tau$ 被划分为N个等长的时隙，每个时隙宽度为 $T_F$。在第n个时隙内，信号以一个特定的频率 $f_n$ 发射，形成一个子脉冲。如图所示，信号在 $T_F, 2T_F, ...$ 等时刻，频率会发生跳变，切换到序列中的下一个频率。正是在这些切换点上，相位的非连续性问题产生了。
基于CPFSK的改进型FSK雷达信号设计
为了克服传统FSK信号的缺陷，论文引入了CPFSK的设计理念，其核心思想是通过一个相位生成机制，确保信号在整个持续时间内相位始终保持连续。这一设计过程可以分解为一系列连续的步骤，构成一个完整的设计框架。
图2: 改进型FSK雷达信号设计框架
此图展示了从原始频率编码序列到最终CPFSK信号的完整生成流程。整个过程始于一个频率编码序列 ${f_{i_n}}$，首先通过“码型映射”将其转换为一个双极性序列 ${I_n}$。接着，该序列经过“波形整形”生成一个连续的驱动信号 $d(t)$。最关键的一步是“连续相位调制”，它将驱动信号 $d(t)$ 进行积分，从而得到一个平滑、无跳变的相位函数 $\Phi(t, IK)$。最后，这个连续的相位函数被用于调制一个载波，生成最终的CPFSK雷达信号 $s{CPFSK}(t)$。
设计的具体数学步骤如下：
频率编码与码型映射 (Frequency Coding & Code Mapping): 首先，将一个包含N个随机频率的编码序列 ${a_{in}}$（其中 $a{i_n}$ 是从集合 ${1, 2, ..., N}$ 中取值的整数），通过以下映射关系转换为一个对称的、零均值的序列 ${I_n}$：
$$I_{n}=a_{i_{n}}-(N+1)/2$$
这一步对于构建一个在相位上能够正负累积的系统至关重要。波形整形 (Waveform Shaping): 利用映射后的序列 ${I_n}$ 和一个基础的整形脉冲 $g(t)$ 来构造驱动信号 $d(t)$：
$$d(t)=\sum_{n=1}^{N}I_{n}\cdot g(t-n\cdot T_{F})$$
在本文中，为简化分析，选用了一个归一化的矩形脉冲作为 $g(t)$：
$$g(t)=\begin{cases}1/(2T_{F})&0\le t\le T_{F}\\ 0&t<0,t>T_{F}\end{cases}$$连续相位调制 (Continuous Phase Modulation): 这是整个设计的精髓所在。通过对驱动信号 $d(t)$ 进行积分，可以得到一个连续变化的相位函数 $\Phi(t, I_K)$。在第K个时间内，即 $(K-1)T_F \le t \le KT_F$，相位函数的表达式为：
$$\Phi(t,I_{K})=\theta_{K-1}+2\pi\cdot m_{f}\cdot I_{K}\cdot q(t-K\cdot T_{F})$$
该表达式包含两个关键部分：- 历史累积相位 $\theta_{K-1}$: 这部分代表了到当前子脉冲开始之前所有历史码元累积的总相位，体现了相位的“记忆效应”，其定义为 $\theta{K-1}=\pi\cdot m{f}\cdot\sum{n=1}^{K-1}I{n}$。
- 当前线性相位增量: $2\pi\cdot m{f}\cdot I{K}\cdot q(t-K\cdot T_{F})$ 是由当前码元 $I_K$ 在当前时间片内产生的相位增量，它是一个随时间线性变化的量。
这里的 $mf = 2f{dmax}TF$ 是调制指数，它决定了相位的变化速率，直接影响信号频谱的紧凑性。 $q(t) = \int{0}^{t}g(\tau)d\tau$ 则是整形脉冲的积分。正是由于当前相位是在历史相位的基础上平滑演进的，整个信号的相位轨迹才得以实现完全的连续。
频率调制 (Frequency Modulating): 最后，将这个精心构造的连续相位函数 $\Phi(t, I_K)$ 调制到载波 $f_c$ 上，便可得到最终的CPFSK雷达信号：
$$s_{CPFSK}(t)=A_{0}exp[j(2\pi f_{C}t+\Phi(t,I_{K}))]$$
其频谱特性主要由复包络 $v(t) = A_0 \cdot exp[j\Phi(t, I_K)]$ 的傅里叶变换 $V(f)$ 决定。
仿真结果与分析
论文通过一组仿真实验，直观地展示了新信号的优越性能。仿真采用了一个包含250个频率编码的随机FSK信号，总带宽为50MHz，脉冲宽度为10μs。
图3与图4: 编码与映射序列
*图3 (上) 展示了用作仿真的250个随机频率编码序列 $f_{in}$。横轴是频率点的序号（Frequency bin），纵轴是对应的频率值（Frequency/MHz）。可以看出频率的选取是无序和随机的，这正是导致传统FSK信号相位突变的原因。
**图4 (下)** 显示了图3的序列经过码型映射 $I{n}=a{i{n}}-(N+1)/2$ 之后得到的结果。横轴仍然是编码序号，纵轴是映射后的码值。可以看到，原始的单极性编码被转换为了一个在零值上下对称分布的双极性序列。*
图5: 相位轨迹对比
这张图是新旧两种信号核心差异的最直观体现。横轴为时间（μs），纵轴为相位（rad）。图中波动剧烈、充满尖锐拐点的曲线代表普通FSK信号的相位轨迹，其不连续性一目了然。而另一条平滑、连续的曲线则代表CPFSK信号的相位轨迹，它没有任何突然的跳变，完美地体现了连续相位调制的思想。根据傅里叶变换理论，时域的平滑性直接对应于频域的快速收敛，预示了CPFSK信号将具有更低的旁瓣。
图6: 时域波形对比
此图展示了两种信号的实部(I)和虚部(Q)波形。上下两组图分别展示了信号的完整波形和局部放大细节。在局部放大图中可以清晰地看到，普通FSK信号（实线）在码元切换的瞬间波形会发生断裂和跳变，而CPFSK信号（虚线）则在这些切换点上保持了完美的平滑过渡。
图7与图8: 仿真与实测频谱对比
*图7 (上) 是仿真的频谱对比图，是本文的核心成果展示。横轴是频率（MHz），纵轴是归一化幅度（dB）。黑色曲线代表普通FSK信号，其频谱旁瓣非常高，且滚降缓慢。红色曲线是CPFSK信号的频谱，其主瓣能量集中，旁瓣被有效抑制，滚降十分迅速。从图中可以量化地看出，CPFSK信号的旁瓣抑制性能比普通FSK信号优越约20dB。
**图8 (下)* 展示了在FPGA硬件系统上实际采集到的两种信号的频谱。实验结果与仿真高度一致，CPFSK信号（图中偏黄绿色）的频谱旁瓣明显低于普通FSK信号（图中紫色），且下降更快，这有力地验证了该方法在实际应用中的有效性。
图9与图10: 雷达性能分析
为了评估新信号在雷达应用中的表现，论文分析了其模糊函数和脉冲压缩性能。
*图9 (上) 是CPFSK信号的模糊函数图。模糊函数描述了雷达信号在延时（距离）和多普勒频移（速度）上的分辨能力。图中呈现出一个尖锐的、类似“图钉”的形状，表明该信号具有优秀的距离和速度分辨率，旁瓣极低，是理想的雷达信号模糊函数形态。
**图10 (下)* 对比了两种信号的脉冲压缩结果。脉冲压缩是雷达提高探测距离和距离分辨率的关键技术。图中显示，CPFSK信号（红色）和普通FSK信号（黑色）的脉冲压缩结果在主瓣宽度和峰值旁瓣比（PSLR）方面几乎完全一致。这证明了CPFSK技术在极大地改善信号频谱特性的同时，并未对雷达的核心性能——脉冲压缩造成任何损失。
结论
综上所述，该论文提出并验证了一种基于CPFSK的新型雷达信号。理论分析、计算机仿真和硬件实验结果一致表明，该信号通过保证相位的连续性，能够非常有效地控制频谱能量的泄漏，其旁瓣抑制性能相比传统FSK信号有约20 dB的提升。与此同时，该信号依然保持了传统FSK信号优良的脉冲压缩特性和理想的“图钉状”模糊函数，完全满足雷达应用的需求。这项工作为设计频谱干净、环境友好、抗干扰能力强的现代雷达系统提供了一种有效的技术途径。
附录：连续相位函数 $\Phi(t,I_{K})$ 的数学推导
原文中给出了相位函数 $\Phi(t,I_{K})$ 的最终形式，但省略了从积分表达式到最终结果的中间步骤。这里我们进行详细推导。
推导的起点是相位函数与驱动信号 $d(t)$ 的积分关系，以及 $d(t)$ 本身的定义：
$$d(t)=\sum_{n=1}^{N}I_{n}\cdot g(t-n\cdot T_{F}) \quad$$
$$\Phi(t,I_{K})=4\pi T_{F}f_{dmax}\int_{-\infty}^{t}d(\alpha)d\alpha \quad$$我们关注第K个时间 интервал，即 $(K-1)T_F \le t \le KT_F$。由于信号在 $t=0$ 之前为零，积分下限可以从0开始：$$\Phi(t,I_{K}) = 4\pi T_{F}f_{dmax}\int_{0}^{t}\left(\sum_{n=1}^{K}I_{n}\cdot g(\alpha-n T_{F})\right)d\alpha \quad$$因为积分和求和运算是线性的，我们可以交换它们的顺序。同时，我们可以将积分区间分解为两部分：一部分是已经完成的前 $K-1$ 个完整子脉冲区间，另一部分是当前正在进行的第 $K$ 个子脉冲区间（从 $KT_F$ 到 $t$）：$$\Phi(t,I_{K}) = 4\pi T_{F}f_{dmax}\left[ \sum_{n=1}^{K-1}I_{n}\int_{0}^{t} g(\alpha-n T_{F})d\alpha + I_K \int_{0}^{t} g(\alpha-K T_{F})d\alpha \right]$$由于整形脉冲 $g(t-nT_F)$ 的非零区间仅在 $[nT_F, (n+1)T_F]$ 内，我们可以精确地定义每个积分的上下限：$$\Phi(t,I_{K}) = 4\pi T_{F}f_{dmax}\left[ \sum_{n=1}^{K-1}I_{n}\int_{nT_{F}}^{(n+1)T_{F}} g(\alpha-n T_{F})d\alpha + I_K \int_{KT_{F}}^{t} g(\alpha-K T_{F})d\alpha \right]$$现在我们分别计算这两个积分。对于第一个积分项（代表完整的子脉冲），我们进行变量代换，令 $u = \alpha - nT_F$，则 $du = d\alpha$。当 $\alpha = nT_F$ 时 $u=0$；当 $\alpha = (n+1)T_F$ 时 $u=T_F$。$$\int_{nT_{F}}^{(n+1)T_{F}} g(\alpha-n T_{F})d\alpha = \int_{0}^{T_F} g(u)du$$根据 $g(t)$ 的定义 $g(t) = 1/(2T_F)$ for $0 \le t \le T_F$，我们得到：$$\int_{0}^{T_F} \frac{1}{2T_F} du = \frac{1}{2T_F} [u]_0^{T_F} = \frac{T_F}{2T_F} = \frac{1}{2}$$对于第二个积分项（代表不完整的当前子脉冲），我们进行类似的变量代换，令 $v = \alpha - KT_F$，则 $dv = d\alpha$。当 $\alpha = KT_F$ 时 $v=0$；当 $\alpha = t$ 时 $v=t-KTF$。$$\int_{KT_{F}}^{t} g(\alpha-K T_{F})d\alpha = \int_{0}^{t-KT_F} g(v)dv = \int_{0}^{t-KT_F} \frac{1}{2T_F} dv = \frac{1}{2T_F} [v]_0^{t-KT_F} = \frac{t-KT_F}{2T_F}$$将这两个计算结果代回到 $\Phi(t,I{K})$ 的表达式中：$$\Phi(t,I_{K}) = 4\pi T_{F}f_{dmax}\left[ \sum_{n=1}^{K-1}I_{n}\cdot \left(\frac{1}{2}\right) + I_K \cdot \left(\frac{t-KT_F}{2T_F}\right) \right]$$整理后得到：$$\Phi(t,I_{K}) = 4\pi T_{F}f_{dmax}\left[ \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{K-1}I_{n} + I_K \frac{t-KT_F}{2T_F} \right]$$
