正交时频空间调制：离散Zak变换方法

Lampel F, Joudeh H, Alvarado A, et al. Orthogonal time frequency space modulation based on the discrete Zak transform[J]. Entropy, 2022, 24(12): 1704.

1. 引言与背景

正交时频空间（OTFS）调制是一种新型的调制技术，专门设计用于应对高移动性环境中的通信挑战。与传统的正交频分复用（OFDM）不同，OTFS将信息符号放置在时延-多普勒（DD）域中，而不是时频（TF）域。这种根本性的差异使得OTFS在处理时频色散信道时具有独特的优势。

在高速移动场景中，如高速列车或飞机通信，多普勒效应导致信道快速时变，使传统OFDM系统的性能严重退化。OTFS通过在DD域操作，将这种时变信道转换为时不变的二维卷积，从而简化了均衡器的设计并提高了系统性能。

本文提出了一种基于离散Zak变换（DZT）的OTFS实现方法。与现有的基于OFDM覆盖层的方法不同，我们的方法直接利用DZT的数学性质，不仅简化了OTFS的实现，还提供了对系统行为的深入理解。

2. 离散Zak变换的数学基础

2.1 DZT的定义与基本关系

对于周期为$KL$的序列$x \in \mathbb{C}^{\mathbb{Z}}$，其离散Zak变换$Z_x^{(L,K)} \in \mathbb{C}^{\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}}$定义为：

$$Z_x^{(L,K)}[n,k] \triangleq \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} x[n+lL] e^{-j2\pi\frac{kl}{K}}, \quad n,k \in \mathbb{Z}$$

这个定义揭示了DZT的本质：对于给定的时间索引$n$，DZT是下采样序列$x_{(n,L)} = {x[n+lL] | l \in \mathbb{Z}}$的酉离散傅里叶变换（DFT）。变量$n$确定了下采样的起始相位，而$k$表示离散频率。

序列$x$可以通过逆离散Zak变换（IDZT）从其DZT恢复：

$$x[n] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x^{(L,K)}[n,k]$$

为了更好地理解DZT的性质，考虑两个特殊情况：

当$K=1$时：
$$Z_x^{(L,1)}[n,k] = x[n]$$

当$L=1$时：
$$Z_x^{(1,K)}[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} x[n+l] e^{-j2\pi\frac{kl}{K}}$$

后者在$n=0$时简化为序列$x$的标准DFT。

2.2 DZT的周期性性质

DZT具有独特的周期性和准周期性性质。在频率域，DZT是周期性的：

$$Z_x^{(L,K)}[n, k+mK] = Z_x^{(L,K)}[n,k], \quad \forall m \in \mathbb{Z}$$

在时间域，DZT表现出准周期性：

$$Z_x^{(L,K)}[n+mL, k] = e^{j2\pi\frac{km}{K}} Z_x^{(L,K)}[n,k], \quad \forall m \in \mathbb{Z}$$

这种准周期性意味着DZT在时间上以周期$L$重复，但伴随着相位因子$e^{j2\pi km/K}$。因此，DZT完全由基本矩形${(n,k) : 0 \leq n \leq L-1, 0 \leq k \leq K-1}$内的值决定。

图1描述：图1展示了一个高斯包络序列$f[n] = e^{-\frac{1}{2}(\frac{n-L/2}{\sigma L/2})^2}$（其中$\sigma=1/4$，$L=30$）及其DZT的幅度$|Z_g[n,k]|$。该序列$g$具有周期$KL=900$，在第一个$L$个样本中等于$f[n]$，其余位置为零。DZT的幅度在基本矩形内呈现出特征性的图案，相位在所示范围内为零。

2.3 信号变换的核心性质

DZT具有三个对OTFS分析至关重要的信号变换性质：

移位性质：对于移位序列$y[n] = x[n-m]$：
$$Z_y[n,k] = Z_x[n-m,k]$$

特别地，当移位为$L$的整数倍（$m=lL$）时：
$$Z_y[n,k] = e^{-j2\pi\frac{kl}{K}} Z_x[n,k]$$

调制性质：对于逐元素乘积$z[n] = x[n]y[n]$：
$$Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} Z_x[n,l]Z_y[n,k-l]$$

这表明时域的乘法对应于DD域中关于频率变量的卷积。

循环卷积性质：对于循环卷积$z = x \circledast y$：
$$Z_z[n,k] = \sqrt{K} \sum_{m=0}^{L-1} Z_x[m,k]Z_y[n-m,k]$$

这表明时域的循环卷积对应于DD域中关于时间变量的卷积。

3. OTFS作为OFDM的覆盖层实现

3.1 OFDM覆盖架构

图5描述：图5(a)展示了OTFS作为OFDM覆盖技术的概念框架。DD域中的符号$Zx$通过逆辛有限傅里叶变换（ISFFT）映射到时频域的符号$a$，然后通过脉冲整形OFDM传输。接收端通过辛有限傅里叶变换（SFFT）将接收到的时频域符号映射回DD域。图5(b)详细展示了脉冲整形OFDM传输的结构，其中每个时频域符号$a{m,l}$通过相应的脉冲$g_{m,l}[n]$进行调制。

ISFFT定义为：
$$a_{m,l} = \frac{1}{\sqrt{KL}} \sum_{n=0}^{L-1} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x[n,k] e^{j2\pi(\frac{mk}{K} - \frac{ln}{L})}$$

其中$0 \leq m \leq K-1$和$0 \leq l \leq L-1$。

传输信号表示为：
$$s[n] = \sum_{m=0}^{K-1} \sum_{l=0}^{L-1} a_{m,l} g_{m,l}[n]$$

其中$g_{m,l}[n] = g[n-mL]e^{j2\pi ln/L}$是传输脉冲$g[n]$的时频移位版本。

3.2 矩形脉冲的特殊情况

当使用矩形脉冲时，传输和接收脉冲为：
$$g[n] = \gamma[n] = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{L}}, & 0 \leq n \leq L-1 \\ 0, & L \leq n \leq KL-1 \end{cases}$$

在这种情况下，传输信号简化为：
$$s[n+mL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x[n,k] e^{j2\pi\frac{mk}{K}}$$

这恰好是IDZT的表达式，证明了矩形脉冲情况下OFDM覆盖层等价于DZT/IDZT操作。

4. 基于DZT的OTFS系统实现

4.1 系统模型概述

图6描述：图6展示了完整的OTFS系统模型。发射端，DD域符号$Z_x$通过IDZT转换为离散序列，添加循环前缀（CP）后经过并串转换（P/S），然后通过脉冲$p(t)$调制并通过时频色散信道$h(\tau,\nu)$传输。接收端执行匹配滤波、串并转换（S/P），移除CP后通过DZT恢复DD域符号$Z_y$。系统的核心是DD域输入输出关系，由等式(64)描述。

4.2 发射机设计

发射机将DD域帧$Z_x$通过IDZT映射到时域序列：
$$x[n+lL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{k=0}^{K-1} Z_x[n,k] e^{j2\pi\frac{kl}{K}}$$

为避免帧间干扰，添加长度为$L_{CP}$的循环前缀。传输信号通过脉冲幅度调制（PAM）生成：
$$s(t) = \sum_{n=0}^{N+L_{CP}-1} x[n-L_{CP}] p(t-nT)$$

其中$T$是调制间隔，$p(t)$是平方根奈奎斯特脉冲。

4.3 信道模型

我们考虑具有$P$个散射路径的时频色散信道，其DD扩展函数为：
$$h(\tau,\nu) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \delta(\tau-\tau_p) \delta(\nu-\nu_p)$$

其中$\alpha_p$、$\tau_p$和$\nu_p$分别是第$p$条路径的复增益、延迟和多普勒频移。

接收信号表示为：
$$r(t) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p s(t-\tau_p) e^{j2\pi\nu_pt} + \tilde{w}(t)$$

其中$\tilde{w}(t)$是功率谱密度为$N_0$的加性白高斯噪声。

4.4 DD域输入输出关系

经过匹配滤波和采样后，接收序列可表示为：
$$y[m] = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \sum_{n=-L_{CP}}^{N-1} x[n] e^{j2\pi\frac{k_p n}{KL}} h_p[m-n] + w[m]$$

其中$h_p[n] = h(nT-\tau_p)$是采样脉冲响应，$k_p = \nu_p KLT$是归一化多普勒频移。

DD域的输入输出关系为：
$$Z_y[n,k] = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p Z_{y_p}[n,k] + Z_w[n,k]$$

其中：
$$Z_{y_p}[n,k] = \sum_{m=0}^{L-1} \left(\sum_{l=0}^{K-1} Z_x[m,l] Z_{u_p}[m,k-l]\right) Z_{h_p}[n-m,k]$$

5. 时延-多普勒域的扩展分析

5.1 多普勒扩展

图8描述：图8展示了归一化多普勒扩展函数$|V[k-k_p]|$（以dB为单位），其中$K=30$。该函数呈现典型的sinc函数特性，主瓣位于$k=k_p$，旁瓣随距离衰减。当$k_p$不是整数时，会产生显著的多普勒域干扰，这种现象类似于DFT中的频谱泄漏。

多普勒扩展由$Z_{u_p}$决定：
$$Z_{u_p}[n,k] = e^{j2\pi\frac{k_p n}{KL}} V[k-k_p]$$

其中：
$$V[k-k_p] = \frac{1}{\sqrt{K}} e^{-j\pi\frac{(K-1)(k-k_p)}{K}} \frac{\sin(\pi(k-k_p))}{\sin(\frac{\pi(k-k_p)}{K})}$$

多普勒分辨率定义为：
$$\Delta\nu = \frac{1}{KLT}$$

5.2 时延扩展

图9描述：图9展示了分数延迟升余弦脉冲（延迟$\tau=0.5T$，滚降因子$\beta=0.5$）的采样序列$hp[n]$的DZT。上图显示幅度$|Z{hp}[n,k]|$在$k$维度上保持恒定，证实了有限支撑脉冲的特性。下图显示相位$\phi{h_p}[n,k]$，在$n \geq 16$时出现额外的线性相位，这是由于DZT的准周期性造成的。

时延分辨率定义为：
$$\Delta\tau = T$$

5.3 综合DD域扩展

图10描述：图10展示了单个DD域符号由于分数时延（$\tau_p=0.5T$）和多普勒频移（$k_p=0.5$）产生的扩展过程。(a)显示初始符号位于$Zx[L/2,0]=1$。(b)显示经过多普勒扩展后的中间结果$Z{\check{y}}$，符号在频率维度扩展。(c)显示最终的DD域扩展$Z_y$，符号同时在时延和多普勒维度扩展，形成特征性的二维扩展图案。

图11描述：图11展示了基于3GPP TDL-E信道模型的DD域扩展，该模型包含一条LOS路径和13条散射路径。(a)使用滚降因子$\beta=0.1$的升余弦脉冲，(b)使用$\beta=1$。顶部的热图显示$|Z_y[\tau,\nu]|$的dB值，底部的三维图显示线性幅度。增加滚降因子显著减少了时延域的扩展，而多普勒域扩展保持不变。这说明脉冲设计对系统性能的重要影响。

附录

附录A：DZT与DFT的关系

定理：序列$x$的DZT可以通过其DFT $X$表示为：
$$Z_x^{(L,K)}[n,k] = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{l=0}^{L-1} X[k+lK] e^{j2\pi\frac{(k+lK)n}{KL}}$$

证明：
从IDFT开始：
$$x[n] = \frac{1}{\sqrt{KL}} \sum_{k'=0}^{KL-1} X[k'] e^{j2\pi\frac{k'n}{KL}}$$

将求和索引$k'$分解为$k' = k + lK$，其中$0 \leq k \leq K-1$和$0 \leq l \leq L-1$：
$$x[n] = \frac{1}{\sqrt{KL}} \sum_{l=0}^{L-1} \sum_{k=0}^{K-1} X[k+lK] e^{j2\pi\frac{(k+lK)n}{KL}}$$

将此代入DZT定义：
$$Z_x^{(L,K)}[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l'=0}^{K-1} x[n+l'L] e^{-j2\pi\frac{kl'}{K}}$$

代入$x[n+l'L]$的表达式：
$$Z_x^{(L,K)}[n,k] = \frac{1}{K\sqrt{L}} \sum_{l'=0}^{K-1} \sum_{l=0}^{L-1} \sum_{k'=0}^{K-1} X[k'+lK] e^{j2\pi\frac{(k'+lK)(n+l'L)}{KL}} e^{-j2\pi\frac{kl'}{K}}$$

整理指数项：
$$e^{j2\pi\frac{(k'+lK)(n+l'L)}{KL}} e^{-j2\pi\frac{kl'}{K}} = e^{j2\pi\frac{(k'+lK)n}{KL}} e^{j2\pi\frac{l'(k'-k)}{K}}$$

对$l'$求和，利用：
$$\sum_{l'=0}^{K-1} e^{j2\pi\frac{l'(k'-k)}{K}} = K\delta[k'-k]$$

得到最终结果。

附录B：调制性质

定理：对于$z[n] = x[n]y[n]$，其DZT为：
$$Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} Z_x[n,l] Z_y[n,k-l]$$

证明：
从定义开始：
$$Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} x[n+lL]y[n+lL] e^{-j2\pi\frac{kl}{K}}$$

使用IDZT表示$x[n+lL]$：
$$x[n+lL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{m=0}^{K-1} Z_x[n,m] e^{j2\pi\frac{ml}{K}}$$

类似地表示$y[n+lL]$：
$$y[n+lL] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{m'=0}^{K-1} Z_y[n,m'] e^{j2\pi\frac{m'l}{K}}$$

代入并整理：
$$Z_z[n,k] = \frac{1}{K\sqrt{K}} \sum_{l=0}^{K-1} \sum_{m=0}^{K-1} \sum_{m'=0}^{K-1} Z_x[n,m] Z_y[n,m'] e^{j2\pi\frac{l(m+m'-k)}{K}}$$

对$l$求和：
$$\sum_{l=0}^{K-1} e^{j2\pi\frac{l(m+m'-k)}{K}} = K\delta[(m+m'-k) \bmod K]$$

因此：
$$Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{K}} \sum_{m=0}^{K-1} Z_x[n,m] Z_y[n,k-m]$$

附录C：循环卷积性质

定理：对于循环卷积$z = x \circledast y$：
$$Z_z[n,k] = \sqrt{K} \sum_{m=0}^{L-1} Z_x[m,k] Z_y[n-m,k]$$

证明：
循环卷积在DFT域表示为：
$$Z[k] = \sqrt{KL} X[k]Y[k]$$

使用DZT与DFT的关系：
$$Z_z[n,k] = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{l=0}^{L-1} X[k+lK]Y[k+lK] e^{j2\pi\frac{(k+lK)n}{KL}}$$

将$X[k+lK]$和$Y[k+lK]$用DZT表示：
$$X[k] = \frac{1}{\sqrt{L}} \sum_{n'=0}^{L-1} Z_x[n',k] e^{-j2\pi\frac{kn'}{KL}}$$

代入并整理，使用正交性关系：
$$\sum_{l=0}^{L-1} e^{j2\pi\frac{l(n'-n''-n)}{L}} = L\delta[(n'-n''-n) \bmod L]$$

最终得到所需结果。

附录D：DD域输入输出关系

从接收信号开始：
$$r(t) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p s(t-\tau_p) e^{j2\pi\nu_pt} + \tilde{w}(t)$$

经过匹配滤波：
$$y(t) = \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \sum_{n=0}^{N+L_{CP}-1} x[n-L_{CP}] \int_{-\infty}^{\infty} p(\tau-nT-\tau_p) e^{j2\pi\nu_p\tau} p^*(\tau-t) d\tau + w(t)$$

假设脉冲带宽远大于最大多普勒频移，积分近似为：
$$\int_{-\infty}^{\infty} p(\tau-nT-\tau_p) e^{j2\pi\nu_p\tau} p^*(\tau-t) d\tau \approx e^{j2\pi\nu_p(nT+\tau_p)} h(t-nT-\tau_p)$$

其中$h(t)$是奈奎斯特脉冲。

采样后，利用CP的循环性质，得到：
$$y[m] \approx \sum_{p=0}^{P-1} \alpha_p \sum_{n=0}^{KL-1} x[n] e^{j2\pi\frac{k_pn}{KL}} h_p[(m-n) \bmod KL] + w[m]$$

应用DZT，并使用调制和卷积性质，得到最终的DD域输入输出关系。

结论

本文提出的基于离散Zak变换的OTFS调制提供了一个统一的数学框架，用于理解和实现OTFS系统。通过DZT的视角，我们不仅简化了OTFS的分析，还揭示了系统参数选择的深层含义。特别是，我们展示了帧大小如何直接影响多普勒和时延分辨率，这为系统设计提供了重要指导。