6G时代的新型延迟多普勒通信范式：正交时频空间（OTFS）综述

Yuan W, Li S, Wei Z, et al. New delay Doppler communication paradigm in 6G era: A survey of orthogonal time frequency space (OTFS)[J]. China Communications, 2023, 20(6): 1-25.

第一章 引言与背景

1.1 从5G到6G的演进

随着第五代（5G）无线系统在全球范围内的标准化和商业化部署，无线通信技术已经进入了一个新的时代。5G系统通过大规模MIMO、毫米波通信和网络切片等关键技术，实现了增强型移动宽带（eMBB）、超可靠低延迟通信（URLLC）和大规模机器类通信（mMTC）三大应用场景。然而，面向2030年及以后的通信需求，5G系统仍存在一些根本性限制，特别是在覆盖范围和高移动性支持方面。

传统的地面无线通信受到覆盖和容量限制的阻碍，5G系统无法普遍支持高数据速率和可靠性，而这正是6G无线系统的主要目标之一。为了突破这些限制，空天地一体化网络（SAGIN）被确定为6G的关键使能技术。SAGIN通过整合卫星、高空平台、无人机和地面网络，能够实现真正的全球覆盖和无缝连接。

1.2 高移动性通信的挑战

在SAGIN架构下，各种高移动性应用场景成为常态。例如，在车对车（V2V）通信中，相对速度可达300公里/小时；在高速铁路（HSR）移动服务中，通信设备的速度可达500公里/小时；而在飞机上的移动通信（MCA）和低地球轨道（LEO）卫星通信中，用户设备的移动速度更高。这些场景带来的主要技术挑战是严重的多普勒扩展效应。

在毫米波频段，即使是较小的用户设备速度也会导致显著的多普勒频移。传统的正交频分复用（OFDM）技术虽然通过采用循环前缀（CP）可以有效克服多径效应引起的符号间干扰（ISI），但在双选择性信道中会失效。高多普勒频移会导致非常短的信道相干时间，破坏OFDM子载波之间的正交性，导致载波间干扰（ICI）。

1.3 OTFS的诞生与发展

正交时频空间（OTFS）技术最初由Hadani等人在2017年提出，作为高移动性无线应用的突破性解决方案。与在时频（TF）域调制数据的传统方法不同，OTFS在延迟-多普勒（DD）域调制信息。这一创新带来了多项显著优势：

• 多普勒和延迟弹性：通过在DD域工作，OTFS自然地适应了信道的物理特性
• 降低的信令延迟：得益于降低的循环前缀帧结构
• 更低的峰均功率比（PAPR）：相比OFDM显著降低
• 降低复杂度的实现：利用DD域信道的稀疏性

第二章 延迟-多普勒域无线信道原理

2.1 信道的数学表征

无线信道在延迟-多普勒域的表征可以追溯到Bello在1963年的开创性工作。对于线性时变信道，其输入输出关系可以表示为：

$$y(t) = \int h(\tau, t)x(t-\tau)d\tau$$

其中$h(\tau, t)$是时变信道脉冲响应。通过傅里叶变换，我们可以得到不同的信道表示形式。

图2描述：该图展示了时延域有效信道的三维可视化。横轴和纵轴分别表示时间（ms）和延迟（ms），垂直轴表示信道响应的幅度。可以观察到信道响应在时延域中呈现出多个峰值，这些峰值对应于不同的传播路径。信道响应的幅度随时间变化，反映了信道的时变特性。颜色从蓝色到青色的渐变表示响应强度的变化。

对于广义平稳非相关散射（WSSUS）信道，其散射函数$S(\tau, \nu)$可以完全表征信道特性，其中$\tau$表示延迟，$\nu$表示多普勒频移。信道的延迟-多普勒表示具有以下重要性质：

$$S(\tau, \nu) = E[|h(\tau, \nu)|^2]$$

其中$h(\tau, \nu)$是延迟-多普勒扩展函数。

图3描述：时频域有效信道的三维表示。图中显示了信道响应在时间和频率维度上的变化。可以看到多个尖锐的峰值分布在整个时频平面上，这些峰值代表了不同延迟和多普勒频移的路径分量。与DD域表示相比，时频域的信道响应显示出更复杂的时变特性，峰值位置随时间快速变化。

2.2 DD域信道的稳定性分析

DD域信道表示的一个关键优势是其时间稳定性。考虑一个具有$P$条路径的多径信道，其DD域表示为：

$$h(\tau, \nu) = \sum_{i=1}^{P} h_i \delta(\tau - \tau_i)\delta(\nu - \nu_i)$$

其中$h_i$、$\tau_i$和$\nu_i$分别表示第$i$条路径的复增益、延迟和多普勒频移。这些参数与物理传播环境直接相关：

$$\tau_i = \frac{d_i}{c}, \quad \nu_i = \frac{v_i f_c}{c}$$

其中$d_i$是传播距离，$v_i$是相对速度，$f_c$是载波频率，$c$是光速。

图4描述：延迟多普勒域有效信道的三维可视化。这是OTFS系统的核心表示形式。图中清晰地显示了信道在DD域的稀疏特性，只有少数几个显著的峰值，每个峰值对应一条物理传播路径。横轴表示延迟（ms），纵轴表示多普勒频率（kHz），垂直轴表示信道增益。与时频域表示相比，DD域信道呈现出明显的稀疏性和稳定性，这正是OTFS技术的理论基础。紫色的峰值清晰地标识出每条路径的延迟和多普勒特征。

第三章 OTFS调制原理与系统模型

3.1 OTFS调制的数学框架

OTFS系统在一个大小为$M \times N$的DD网格上传输数据，其中$M$是延迟bins的数量，$N$是多普勒bins的数量。设$x[k,l]$表示在多普勒索引$k$和延迟索引$l$处放置的数据符号，OTFS调制过程可以描述为：

首先，通过逆辛有限傅里叶变换（ISFFT）将DD域信号转换为时频域：

$$X[n,m] = \frac{1}{\sqrt{MN}} \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{l=0}^{M-1} x[k,l] e^{j2\pi(\frac{nk}{N} - \frac{ml}{M})}$$

然后，通过Heisenberg变换将时频域信号转换为时域：

$$s(t) = \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{M-1} X[n,m] g_{tx}(t - nT) e^{j2\pi m\Delta f(t-nT)}$$

其中$g_{tx}(t)$是发射脉冲整形函数，$T$是OTFS符号持续时间，$\Delta f$是子载波间隔。

图5描述：OTFS实现的两种架构对比。图5(a)展示了基于OFDM的两步转换方法，数据从DD域经过ISFFT转换到TF域，再通过多载波调制转换到时域，经过信道传输后，在接收端执行相反的操作。图5(b)展示了基于Zak变换的直接转换方法，通过Zak变换直接在DD域和时域之间转换，避免了中间的TF域处理，显著降低了实现复杂度。两种方法在功能上等效，但Zak变换方法在计算效率上具有优势。

3.2 信道输入输出关系

经过多径衰落信道传输后，接收信号可以表示为：

$$r(t) = \int \int h(\tau, \nu) s(t-\tau) e^{j2\pi\nu(t-\tau)} d\tau d\nu + w(t)$$

其中$h(\tau, \nu)$是信道的延迟-多普勒响应，$w(t)$是加性高斯白噪声。

在接收端，经过匹配滤波和采样后，DD域的输入输出关系可以简化为：

$$y[k,l] = \sum_{k'=0}^{N-1} \sum_{l'=0}^{M-1} h_{eff}[k,l,k',l'] x[k',l'] + w[k,l]$$

其中$h_{eff}$是有效信道矩阵，它具有特殊的结构特性。

3.3 有效信道矩阵的性质

对于理想的脉冲整形和整数延迟/多普勒的情况，有效信道矩阵具有独特的块循环结构：

$$\mathbf{H}_{eff} = \sum_{i=1}^{P} h_i \mathbf{\Pi}^{l_i} \mathbf{\Delta}^{k_i}$$

其中$\mathbf{\Pi}$是延迟移位矩阵，$\mathbf{\Delta}$是多普勒移位矩阵，定义为：

$$[\mathbf{\Pi}]_{i,j} = \delta_{(i-j) \bmod M}, \quad [\mathbf{\Delta}]_{i,j} = e^{j2\pi ij/N} \delta_{i,j}$$

这种结构使得每行和每列恰好有$P$个非零元素，其中$P$是可分辨路径的数量。

第四章 OTFS收发机设计

4.1 发射机预编码设计

4.1.1 脉冲整形设计

脉冲整形对OTFS系统性能有重要影响。理想脉冲应满足双正交性条件：

$$\langle g_{tx}(t-nT)e^{j2\pi m\Delta f t}, g_{rx}(t-n'T)e^{j2\pi m'\Delta f t} \rangle = \delta_{n,n'}\delta_{m,m'}$$

实际系统中常用的脉冲包括矩形脉冲、升余弦脉冲和根升余弦脉冲。对于矩形脉冲，其频域表达式为：

$$G_{rect}(f) = T \cdot \text{sinc}(fT) e^{-j\pi fT}$$

4.1.2 功率分配优化

考虑信道状态信息（CSI）可用的情况，可以设计最优功率分配来最小化误码率。优化问题可以表述为：

$$\min_{p[k,l]} \sum_{k,l} Q\left(\sqrt{\frac{2|h[k,l]|^2 p[k,l]}{N_0}}\right)$$

受限于总功率约束：

$$\sum_{k,l} p[k,l] = P_{total}$$

其中$Q(\cdot)$是Q函数，$N_0$是噪声功率谱密度。

4.2 信道估计算法

4.2.1 导频设计

在DD域中插入导频符号进行信道估计。一种有效的导频模式是在DD网格中放置单个脉冲导频，周围环绕保护区域：

$$x_p[k,l] = \begin{cases} \sqrt{P_p}, & (k,l) = (k_p, l_p) \\ 0, & (k,l) \in \text{Guard Region} \\ \text{Data}, & \text{otherwise} \end{cases}$$

其中$(k_p, l_p)$是导频位置，$P_p$是导频功率。

4.2.2 基于压缩感知的信道估计

利用DD域信道的稀疏性，信道估计问题可以表述为稀疏信号恢复问题：

$$\min_{\mathbf{h}} \|\mathbf{y}_p - \mathbf{A}\mathbf{h}\|_2^2 + \lambda \|\mathbf{h}\|_1$$

其中$\mathbf{y}_p$是导频位置的接收信号，$\mathbf{A}$是测量矩阵，$\lambda$是正则化参数。

可以使用正交匹配追踪（OMP）算法或基于贝叶斯的稀疏学习算法求解此优化问题。

4.3 OTFS检测算法

4.3.1 消息传递算法（MPA）

MPA通过在因子图上迭代传递概率消息来检测OTFS符号。设$\mu{x[k,l] \to y[k',l']}$表示从变量节点$x[k,l]$到观察节点$y[k',l']$的消息，$\mu{y[k',l'] \to x[k,l]}$表示反向消息。

消息更新规则为：

$$\mu_{x[k,l] \to y[k',l']}^{(i)} = P(x[k,l]) \prod_{(k'',l'') \neq (k',l')} \mu_{y[k'',l''] \to x[k,l]}^{(i-1)}$$

$$\mu_{y[k',l'] \to x[k,l]}^{(i)} \propto \exp\left(-\frac{|y[k',l'] - \sum_{(k'',l'')} h_{eff}[k',l',k'',l''] \hat{x}[k'',l'']|^2}{N_0}\right)$$

其中$\hat{x}[k'',l'']$是基于当前消息的符号估计。

4.3.2 线性检测器

对于低复杂度实现，可以使用线性检测器。MMSE检测器的解为：

$$\hat{\mathbf{x}} = (\mathbf{H}_{eff}^H \mathbf{H}_{eff} + \sigma_w^2 \mathbf{I})^{-1} \mathbf{H}_{eff}^H \mathbf{y}$$

利用$\mathbf{H}_{eff}$的块循环结构，矩阵求逆可以通过快速傅里叶变换（FFT）高效实现，复杂度从$O(M^3N^3)$降低到$O(MN\log(MN))$。

第五章 OTFS使能的感知通信一体化

5.1 ISAC系统模型

在OTFS-ISAC系统中，同一信号同时用于通信和感知。对于感知功能，接收到的回波信号可以表示为：

$$y_{radar}(t) = \sum_{i=1}^{L} \alpha_i s(t - \tau_i) e^{j2\pi\nu_i t} + w(t)$$

其中$L$是目标数量，$\alpha_i$、$\tau_i$和$\nu_i$分别是第$i$个目标的反射系数、延迟和多普勒频移。

目标参数与物理量的关系为：

$$R_i = \frac{c\tau_i}{2}, \quad v_i = \frac{c\nu_i}{2f_c}$$

其中$R_i$是目标距离，$v_i$是径向速度。

5.2 联合信号设计

ISAC系统的信号设计需要在通信和感知性能之间取得平衡。优化问题可以表述为：

$$\max_{\mathbf{x}} \alpha C(\mathbf{x}) + (1-\alpha) S(\mathbf{x})$$

其中$C(\mathbf{x})$是通信容量，$S(\mathbf{x})$是感知性能指标（如参数估计的克拉美罗下界），$\alpha \in [0,1]$是权重因子。

对于OTFS-ISAC，通信容量可以表示为：

$$C(\mathbf{x}) = \log_2 \det\left(\mathbf{I} + \frac{1}{\sigma_w^2}\mathbf{H}_{eff}\text{diag}(\mathbf{x})\mathbf{H}_{eff}^H\right)$$

感知性能的克拉美罗下界（CRLB）为：

$$\text{CRLB}(\theta) = [\mathbf{J}^{-1}]_{\theta,\theta}$$

其中$\mathbf{J}$是费舍尔信息矩阵，$\theta$是待估计的参数（延迟或多普勒）。

第六章 新兴应用与未来展望

6.1 可见光通信中的OTFS

在可见光通信系统中，OTFS调制需要考虑LED的非线性特性和正实数约束。DC偏置光OTFS（DCO-OTFS）系统的信号模型为：

$$s_{VLC}(t) = s_{DC} + \text{Re}\{s_{OTFS}(t)\}$$

其中$s_{DC}$是直流偏置，确保信号始终为正。

VLC信道的DD域表示通常是稀疏的，主要包含直射路径和少量反射路径：

$$h_{VLC}(\tau, \nu) = h_0\delta(\tau)\delta(\nu) + \sum_{i=1}^{L} h_i\delta(\tau - \tau_i)\delta(\nu)$$

注意VLC信道通常是准静态的，因此多普勒分量为零。

6.2 水声通信中的OTFS

水声信道具有独特的传播特性，声速约为1500 m/s，远低于电磁波。这导致严重的延迟扩展（可达数百毫秒）和多普勒扩展。水声OTFS系统的信道模型为：

$$h_{UWA}(\tau, \nu; t) = \sum_{p} A_p(t) \delta(\tau - \tau_p(t)) \delta(\nu - \nu_p(t))$$

其中时变特性由海面波动和水流引起。

6.3 卫星通信中的OTFS

LEO卫星通信面临极高的多普勒频移，可达数百kHz。对于工作在Ka频段（30 GHz）的LEO卫星，相对速度7.5 km/s产生的最大多普勒频移为：

$$\nu_{max} = \frac{2v_{rel}f_c}{c} = \frac{2 \times 7500 \times 30 \times 10^9}{3 \times 10^8} = 1.5 \text{ MHz}$$

OTFS通过在DD域直接处理这些大多普勒频移，避免了OFDM系统中的严重ICI问题。

附录A：OTFS调制

A.1 从连续时间到离散时间的OTFS系统模型

考虑连续时间OTFS系统，DD域符号$x(\nu, \tau)$通过Zak变换转换为时域信号：

$$s(t) = \int_{0}^{\tau_{max}} \int_{-\nu_{max}}^{\nu_{max}} x(\nu, \tau) \phi(\nu, \tau) e^{j2\pi\nu t} d\nu d\tau$$

其中$\phi(\nu, \tau)$是DD域基函数。

对于离散实现，使用采样间隔$T_s = 1/B$（其中$B$是带宽）和OTFS帧持续时间$T_f = NT_s$，离散时间模型变为：

$$s[n] = \frac{1}{\sqrt{MN}} \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{l=0}^{M-1} x[k,l] e^{j2\pi\frac{kn}{N}} e^{-j2\pi\frac{l(n \bmod M)}{M}}$$

A.2 有效信道矩阵的推导

考虑具有$P$条路径的多径信道，第$i$条路径的延迟为$\tau_i = l_i T_s + \epsilon_i T_s$，多普勒频移为$\nu_i = k_i/(NT_s) + \kappa_i/(NT_s)$，其中$l_i$和$k_i$是整数部分，$\epsilon_i$和$\kappa_i$是分数部分。

对于矩形脉冲，有效信道矩阵元素为：

$$h_{eff}[k,l,k',l'] = \sum_{i=1}^{P} h_i \frac{\sin(\pi(l-l'-l_i-\epsilon_i))}{\pi(l-l'-l_i-\epsilon_i)} \cdot \frac{\sin(\pi(k-k'-k_i-\kappa_i))}{\sin(\pi(k-k'-k_i-\kappa_i)/N)}$$

当$\epsilon_i = \kappa_i = 0$（整数延迟和多普勒）时，简化为：

$$h_{eff}[k,l,k',l'] = \sum_{i=1}^{P} h_i \delta_{(l-l') \bmod M, l_i} \cdot e^{j2\pi k_i k'/N} \delta_{(k-k') \bmod N, k_i}$$

A.3 分集阶数分析

OTFS的成对错误概率（PEP）可以表示为：

$$P(\mathbf{x} \to \hat{\mathbf{x}}) \leq \prod_{i=1}^{r} \frac{1}{1 + \frac{\lambda_i \text{SNR}}{4}}$$

其中$r$是差分矩阵$\mathbf{H}{eff}(\mathbf{X} - \hat{\mathbf{X}})\mathbf{H}{eff}^H$的秩，$\lambda_i$是其非零特征值。

对于全分集，需要$r = MN$。通过适当的相位旋转：

$$x[k,l] = \tilde{x}[k,l] e^{j\theta_{k,l}}$$

其中$\theta_{k,l} = 2\pi\alpha kl/\sqrt{MN}$，$\alpha$是无理数（如$\sqrt{2}$），可以保证实现全分集。

A.4 PAPR分析

OTFS信号的峰值功率定义为：

$$P_{peak} = \max_t |s(t)|^2$$

平均功率为：

$$P_{avg} = \frac{1}{T_f} \int_0^{T_f} |s(t)|^2 dt = \frac{1}{MN} \sum_{k,l} |x[k,l]|^2$$

PAPR的累积分布函数（CDF）近似为：

$$F_{PAPR}(\gamma) \approx \left(1 - e^{-\gamma/\bar{\gamma}}\right)^{MN}$$

其中$\bar{\gamma}$是平均PAPR。对于大$MN$，PAPR近似服从：

$$\text{PAPR} \approx \bar{\gamma} \ln(MN)$$

这表明OTFS的PAPR随DD网格大小对数增长，而OFDM的PAPR线性增长。

A.5 容量分析

在高信噪比条件下，OTFS系统的遍历容量可以近似为：

$$C = \mathbb{E}\left[\log_2 \det\left(\mathbf{I} + \frac{\text{SNR}}{MN}\mathbf{H}_{eff}\mathbf{H}_{eff}^H\right)\right]$$

利用Jensen不等式和矩阵行列式的性质：

$$C \geq MN \log_2\left(1 + \frac{\text{SNR}}{MN} \cdot \frac{1}{MN}\text{tr}(\mathbf{H}_{eff}\mathbf{H}_{eff}^H)\right)$$

对于归一化信道（$\text{tr}(\mathbf{H}{eff}\mathbf{H}{eff}^H) = MNP$），容量下界变为：

$$C \geq MN \log_2\left(1 + \frac{P \cdot \text{SNR}}{MN}\right)$$

这表明OTFS可以获得与路径数量$P$成比例的功率增益，这是由于其固有的分集增益。

附录B：OTFS检测算法的复杂度分析

B.1 消息传递算法复杂度

标准MPA的每次迭代复杂度为$O(MNP|Q|)$，其中$|Q|$是调制阶数。通过利用消息的稀疏性和高斯近似，复杂度可以降低到$O(MNP^2)$。

B.2 线性检测器复杂度

直接MMSE检测需要$O((MN)^3)$的复杂度用于矩阵求逆。利用块循环结构和FFT，复杂度降低到$O(MN\log(MN) + P^3MN)$。

对于典型参数（$M=128$，$N=16$，$P=6$），这意味着从约$8.6 \times 10^9$次运算降低到约$1.1 \times 10^6$次运算，实现了三个数量级的复杂度降低。