正交时频空间（OTFS）调制技术：理论基础与性能分析
Hadani R, Rakib S, Tsatsanis M, et al. Orthogonal time frequency space modulation[C]//2017 IEEE wireless communications and networking conference (WCNC). IEEE, 2017: 1-6.
1. 引言与背景
第五代（5G）移动通信系统面临着前所未有的挑战。与4G主要服务于静止或低速移动用户的高速视频传输不同，5G需要支持全新的应用场景，包括车联网（V2X）通信、高速铁路通信以及物联网（IoT）应用。这些应用场景的共同特点是存在高多普勒频移、需要低延迟传输以及要求高可靠性。
传统的正交频分复用（OFDM）技术虽然在4G中取得了巨大成功，但其最优性建立在一系列严格假设之上：发射端完全知道信道状态信息（CSI）、使用高斯调制字母表、允许长码字传输以及接收机复杂度无限制。在高速移动场景下，这些假设往往无法满足，导致OFDM性能急剧下降。
正交时频空间（OTFS）调制技术的核心创新在于其在延迟-多普勒域进行信号设计，而非传统的时频域。这种设计理念使得每个传输符号即使在高多普勒或毫米波信道中也能经历近乎恒定的信道增益，从根本上解决了时变信道带来的挑战。
2. 延迟-多普勒信道的数学表征
2.1 信道的延迟-多普勒表示
根据Bello的经典理论，时变传播信道可以通过多种等价方式表示：时变脉冲响应、时变传递函数或多普勒变化脉冲响应。其中，多普勒变化脉冲响应最自然地符合传播物理特性。
复基带多普勒变化脉冲响应$h_c(\tau, \nu)$刻画了信道对延迟$\tau$和多普勒频移$\nu$处脉冲的响应。通过该信道传输的输入信号$s(t)$的接收信号表示为：
$$r(t) = \int\int h_c(\tau, \nu)e^{j2\pi\nu(t-\tau)}s(t - \tau) d\tau d\nu$$
这个积分表达式揭示了接收信号是发射信号多个副本的叠加，每个副本经历特定的延迟$\tau$、多普勒频移$\nu$，并由对应的复值信道响应$h_c(\tau, \nu)$加权。从物理意义上讲，$h_c(\tau, \nu)$直接对应于散射体的位置和速度，因此该表示具有明确的物理含义。
延迟-多普勒信道表示的一个关键优势是其紧凑性和稀疏性。在实际无线环境中，散射体的数量有限，导致$h_c(\tau, \nu)$在延迟-多普勒平面上只有少数非零值。这种稀疏性对信道估计、预测和跟踪具有重要意义，同时也简化了高阶MIMO和MU-MIMO系统中均衡器/预编码器的复杂度。
2.2 海森堡变换与扭曲卷积
信道操作可以抽象为一个线性算子$\Pi_h(\cdot)$，由脉冲响应函数$h = h_c(\tau, \nu)$参数化：
$$\Pi_h(s): s(t) \xrightarrow{\Pi_h} r(t)$$
在数学文献中，参数化映射$h \rightarrow \Pi_h$被称为海森堡变换，它是傅里叶变换的非交换推广。海森堡变换的核心性质是扭曲卷积定理：
定理（扭曲卷积性质）：设$\Pi_{h1}$和$\Pi{h_2}$是两个海森堡算子，依次作用于信号$s(t)$，则：
$$\Pi_{h_2}(\Pi_{h_1}(s(t))) = \Pi_h(s(t))$$
其中$h(\tau, \nu) = h2(\tau, \nu) *\sigma h_1(\tau, \nu)$是扭曲卷积，定义为：
$$h(\tau, \nu) = \int\int h_2(\tau', \nu')h_1(\tau - \tau', \nu - \nu')e^{j2\pi\nu'(\tau-\tau')}d\tau'd\nu'$$
扭曲卷积中的指数项$e^{j2\pi\nu'(\tau-\tau')}$是区别于普通卷积的关键，它反映了时频域的非交换特性。
3. 时频调制的统一框架
3.1 基本组件
所有时频调制系统都可以在统一框架下描述，包含以下基本组件：
时频格点：
$$\Lambda = \{(nT, m\Delta f) : n, m \in \mathbb{Z}\}$$
其中$T$是时间采样间隔，$\Delta f$是频率采样间隔。
数据包参数：总持续时间$NT$秒，总带宽$M\Delta f$ Hz。
调制符号序列：$X[n, m]$，其中$n = 0, ..., N-1$，$m = 0, ..., M-1$。
脉冲成形：发射脉冲$g{tx}(t)$和接收脉冲$g{rx}(t)$满足双正交条件：
$$\int e^{-j2\pi m\Delta f(t-nT)}g_{rx}^*(t - nT)g_{tx}(t)dt = \delta(m)\delta(n)$$
3.2 时频调制器
时频调制器将二维符号序列$X[n, m]$映射为发射信号$s(t)$：
$$s(t) = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} X[n, m]e^{j2\pi m\Delta f(t-nT)}g_{tx}(t - nT)$$
这个调制规则可以解释为海森堡算子$\PiX(\cdot)$作用于发射脉冲$g{tx}(t)$：
$$s(t) = \Pi_X(g_{tx})$$
3.3 时频解调器
解调过程首先计算接收信号$r(t)$与接收脉冲$g_{rx}$之间的交叉模糊函数：
$$A_{g_{rx},r}(\tau, \nu) = \int e^{-j2\pi\nu(t-\tau)}g_{rx}^*(t - \tau)r(t)dt$$
然后在格点$\Lambda$上采样得到解调符号：
$$\hat{Y}[n, m] = A_{g_{rx},r}(\tau, \nu)|_{\tau=nT,\nu=m\Delta f}$$
4. OTFS调制的数学原理
4.1 辛傅里叶变换
OTFS的核心是有限辛傅里叶变换（SFFT），它在延迟-多普勒域和时频域之间建立了对应关系。
延迟-多普勒格点定义为：
$$\Lambda^{\perp} = \{(k\Delta\tau, l\Delta\nu) : k, l \in \mathbb{Z}\}$$
其中$\Delta\tau = \frac{1}{M\Delta f}$，$\Delta\nu = \frac{1}{NT}$。注意延迟分辨率与带宽成正比，多普勒分辨率与时长成正比，这与雷达理论一致。
SFFT将延迟-多普勒域的序列$x_p[k, l]$（周期为$(M, N)$）变换为时频域的序列$X_p[n, m]$（周期为$(N, M)$）：
$$X_p[n, m] = \sum_{k=0}^{M-1} \sum_{l=0}^{N-1} x_p[k, l]e^{-j2\pi(\frac{mk}{M} - \frac{nl}{N})}$$
逆变换为：
$$x_p[k, l] = \frac{1}{MN}\sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{M-1} X_p[n, m]e^{-j2\pi(\frac{ln}{N} - \frac{km}{M})}$$
4.2 OTFS调制过程
OTFS调制包含两个步骤：
步骤1：OTFS变换
$$X[n, m] = W_{tx}[n, m] \cdot \text{SFFT}(x_p[k, l])$$
其中$W_{tx}[n, m]$是时频域加窗函数。
步骤2：海森堡变换
$$s(t) = \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} X[n, m]e^{j2\pi m\Delta f(t-nT)}g_{tx}(t - nT)$$
4.3 OTFS基函数的解释
OTFS变换可以重新表示为：
$$X[n, m] = W_{tx}[n, m]\sum_{k=0}^{M-1} \sum_{l=0}^{N-1} x[k, l]b_{k,l}[n, m]$$
其中基函数：
$$b_{k,l}[n, m] = e^{-j2\pi(\frac{mk}{M} - \frac{nl}{N})}$$
图1描述：论文中的图1展示了延迟-多普勒域和时频域中的二维基函数。左侧显示了延迟-多普勒域中的紧凑脉冲，它们在$(k\Delta\tau, l\Delta\nu)$位置局部化。右侧显示了对应的时频域基函数$b_{k,l}[n, m]$，这些基函数在整个时频平面上扩展，呈现出复杂的相位模式。这种全平面扩展是OTFS能够获得完整分集增益的关键。
5. OTFS输入输出关系
5.1 理想信道情况
对于理想信道$h_c(\tau, \nu) = \delta(\tau)\delta(\nu)$，输入输出关系简化为：
$$\hat{Y}[n, m] = X[n, m] + V[n, m]$$
这表明在理想信道下，OTFS实现了完美重构，类似于OFDM在非色散信道中的表现。
5.2 一般信道情况
对于一般的时频选择性信道，OTFS的延迟-多普勒域输入输出关系为：
$$\hat{y}_p[k, l] = \frac{1}{NM} \sum_{k'=0}^{M-1} \sum_{l'=0}^{N-1} h_w(k'\Delta\tau, l'\Delta\nu) \cdot x_p[k - k', l - l'] + v_p[k, l]$$
其中$h_w(\tau, \nu)$是加窗信道响应：
$$h_w(\tau, \nu) = \int\int e^{-j2\pi\nu'\tau'} h_c(\tau', \nu') w(\nu - \nu', \tau - \tau')d\tau'd\nu'$$
窗函数$w(\tau, \nu)$是时频窗$W[n, m] = W{tx}[n, m]W{rx}[n, m]$的逆离散辛傅里叶变换。
6. 性能分析与仿真结果
6.1 分集增益分析
图5描述：该图展示了在TDL-C信道模型（延迟扩展300ns）、车速120km/h条件下，不同调制阶数（4QAM/16QAM/64QAM/256QAM）的未编码误码率性能。图中比较了使用MMSE均衡器的OFDM与使用不同均衡器的OTFS。
关键观察：
- 对于4QAM，OFDM在高信噪比下出现明显的错误平底（约$10^{-2}$），这是由于载波间干扰（ICI）造成的
- OTFS的BER曲线斜率更陡，表明获得了更高的分集阶数
- 使用判决反馈均衡器（DFE）的OTFS性能接近理想的genie-aided DFE，表明误差传播影响有限
6.2 编码系统性能
图6描述：该图展示了编码系统（4QAM码率1/2和64QAM码率2/3）在120km/h移动速度下的块错误率（BLER）性能。图中包含了OFDM-MMSE、OTFS-MMSE、OTFS-DFE（含误差传播）和OTFS-DFE（genie辅助）四条曲线。
重要发现：
- MMSE均衡对OTFS不够有效，性能与OFDM相当或更差
- 迭代DFE使OTFS显著优于OFDM，在BLER=$10^{-2}$时有3-4dB的SNR增益
- 误差传播在低码率时影响较小，但在高阶调制时变得明显
6.3 短包传输性能
图7描述：该图展示了短包传输场景（用户仅占用50个资源块中的4个，对应48个子载波）在30km/h移动速度下的性能。比较了16QAM和64QAM调制下OFDM和OTFS的BLER性能。
性能特点：
- OTFS在短包传输时显示出更大的优势，因为它能够在有限的时频资源上获得完整的信道分集
- 对于16QAM，OTFS相比OFDM有约4dB的SNR增益
- 这种增益来源于OTFS将每个符号扩展到整个时频平面的特性
6.4 多用户复用性能
图8描述：该图展示了QPSK调制、码率1/2条件下，不同用户数（对应不同的包大小）对系统性能的影响。横轴表示每用户分配的物理资源块（PRB）数量，从2到50不等。
关键结论：
- OFDM性能随着每用户资源减少而急剧下降，因为可用分集减少
- OTFS在2到50 PRB范围内保持相对稳定的性能，展现了其鲁棒性
- 这种特性使OTFS特别适合大规模用户复用场景
6.5 信道硬化效应
图9描述：该图展示了在ETU信道、UE速度120km/h条件下，接收SNR随时间的演变。图中比较了三种情况：(i) OFDM系统，(ii) 1ms窗口的OTFS，(iii) 10ms窗口的OTFS。
信道硬化特性：
- OFDM系统的SNR变化标准差超过4dB，显示出严重的信道变化
- 1ms窗口OTFS的标准差降至1.1dB
- 10ms窗口OTFS几乎实现恒定信道，标准差仅0.2dB
- 在0.01中断概率下，OFDM相比1ms OTFS需要7dB额外的衰落余量，相比10ms OTFS需要9dB
7. 实现考虑
7.1 作为OFDM覆盖层的实现
图4描述：该图展示了OTFS作为现有OFDM系统覆盖层的信号流程图。发射端在OFDM调制器前增加2D OTFS变换，接收端在OFDM解调器后增加逆2D OTFS变换。这种架构可以重用现有的高度优化的OFDM硬件。
7.2 复杂度分析
对于$M$个子载波、$N$个OFDM符号的帧：
- SC-FDMA额外复杂度：$MN\log_2(M)$
- OTFS额外复杂度：$MN\log_2(MN) = MN\log_2(M) + MN\log_2(N)$
- 相对增加：$MN\log_2(N)$
对于典型LTE参数（$M=1200$，$N=14$），OTFS相比SC-FDMA的复杂度增加约37%。
7.3 多用户复用策略
OTFS支持两种主要的多用户复用方式：
延迟-多普勒域复用：不同用户分配不同的OTFS基函数集合或延迟-多普勒域的资源块。所有用户信号在整个时频窗口上扩展，提供完整分集。
时频域复用：不同用户分配不同的时频资源块。这种方式与现有系统兼容性更好，但可能降低分集增益。
8. 结论
OTFS调制技术通过在延迟-多普勒域进行信号设计，从根本上解决了高移动性无线通信面临的挑战。其主要优势包括：
- 信道硬化：将时变衰落信道转换为近似恒定增益信道，简化了自适应调制编码和功率控制
- 完整分集：每个符号经历所有信道模式，获得最大分集增益
- 改善的PAPR：特别是在短包传输场景下
- 简化的信道估计：利用延迟-多普勒域的稀疏性
仿真结果证实，在高多普勒、短包传输和MIMO场景下，OTFS相比OFDM提供了显著的性能改进，典型增益为3-4dB。这些特性使OTFS成为5G及未来无线通信系统的有前途的调制技术。
附录：关键数学推导
A. 扭曲卷积性质的证明
考虑两个海森堡算子的级联作用。设：
$$r_1(t) = \int\int h_1(\tau, \nu)e^{j2\pi\nu(t-\tau)}s(t - \tau)d\tau d\nu$$
$$r(t) = \int\int h_2(\tau, \nu)e^{j2\pi\nu(t-\tau)}r_1(t - \tau)d\tau d\nu$$
将$r_1(t)$代入第二个方程：
$$r(t) = \int\int h_2(\tau, \nu)e^{j2\pi\nu(t-\tau)} \left[\int\int h_1(\tau', \nu')e^{j2\pi\nu'(t-\tau-\tau')}s(t - \tau - \tau')d\tau' d\nu'\right]d\tau d\nu$$
重新整理积分顺序并进行变量替换$\tau'' = \tau + \tau'$：
$$r(t) = \int\int\int\int h_2(\tau, \nu)h_1(\tau', \nu')e^{j2\pi[\nu(t-\tau) + \nu'(t-\tau-\tau')]}s(t - \tau - \tau')d\tau d\nu d\tau' d\nu'$$
合并指数项：
$$e^{j2\pi[\nu(t-\tau) + \nu'(t-\tau-\tau')]} = e^{j2\pi[(v+\nu')t - \nu\tau - \nu'(\tau+\tau')]} = e^{j2\pi[(v+\nu')(t-\tau'') + \nu'(\tau''-\tau')]}$$
进行变量替换$\tau'' = \tau + \tau'$，$\nu'' = \nu + \nu'$：
$$r(t) = \int\int h(\tau'', \nu'')e^{j2\pi\nu''(t-\tau'')}s(t - \tau'')d\tau'' d\nu''$$
其中：
$$h(\tau'', \nu'') = \int\int h_2(\tau, \nu)h_1(\tau'' - \tau, \nu'' - \nu)e^{j2\pi\nu(\tau''-\tau)}d\tau d\nu$$
这正是扭曲卷积的定义。
B. OTFS输入输出关系的推导
从解调方程开始：
$$\hat{y}[k, l] = \frac{1}{NM}\sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{M-1} \hat{Y}_p[n, m]b_{k,l}^*[n, m]$$
其中$\hat{Y}_p[n, m] = Y[n, m] + V[n, m]$，$Y[n, m]$是无噪声项。
根据时频信道方程：
$$Y[n, m] = H[n, m]X[n, m]$$
其中：
$$H[n, m] = \int\int e^{-j2\pi\nu\tau}h_c(\tau, \nu)e^{-j2\pi(m\Delta f \tau - nT\nu)}d\tau d\nu$$
代入调制方程$X[n, m] = W{tx}[n, m]\sum{k',l'} x[k', l']b_{k',l'}[n, m]$：
$$\hat{y}[k, l] = \frac{1}{NM}\sum_{k'=0}^{M-1} \sum_{l'=0}^{N-1} x[k', l'] \int\int h_c(\tau, \nu)e^{-j2\pi\nu\tau}$$
$$\times \sum_{n,m} W[n, m]e^{-j2\pi[nT(\frac{l-l'}{NT}-\nu) - m\Delta f(\frac{k-k'}{M\Delta f}-\tau)]}d\tau d\nu$$
识别括号内的项为窗函数$W[n, m]$的离散辛傅里叶变换：
$$w\left(\frac{k - k'}{M\Delta f} - \tau, \frac{l - l'}{NT} - \nu\right) = \sum_{n,m} W[n, m]e^{-j2\pi[nT(\frac{l-l'}{NT}-\nu) - m\Delta f(\frac{k-k'}{M\Delta f}-\tau)]}$$
因此：
$$\hat{y}[k, l] = \frac{1}{NM}\sum_{k'=0}^{M-1} \sum_{l'=0}^{N-1} x[k', l'] \int\int h_c(\tau, \nu)e^{-j2\pi\nu\tau} w\left(\frac{k - k'}{M\Delta f} - \tau, \frac{l - l'}{NT} - \nu\right)d\tau d\nu$$
定义加窗信道响应：
$$h_w\left(\frac{k - k'}{M\Delta f}, \frac{l - l'}{NT}\right) = \int\int h_c(\tau, \nu)e^{-j2\pi\nu\tau} w\left(\frac{k - k'}{M\Delta f} - \tau, \frac{l - l'}{NT} - \nu\right)d\tau d\nu$$
最终得到：
$$\hat{y}_p[k, l] = \frac{1}{NM}\sum_{k'=0}^{M-1} \sum_{l'=0}^{N-1} h_w(k'\Delta\tau, l'\Delta\nu) \cdot x_p[k - k', l - l'] + v_p[k, l]$$
这就是OTFS的延迟-多普勒域输入输出关系，表明接收符号是发射符号与加窗信道响应的二维循环卷积。
C. 辛傅里叶变换的卷积性质
定理：设$x_1[k, l]$和$x_2[k, l]$是周期为$(M, N)$的二维序列，$X_1[n, m] = \text{SFFT}(x_1[k, l])$和$X_2[n, m] = \text{SFFT}(x_2[k, l])$是其辛傅里叶变换。则：
$$\text{SFFT}(x_1[k, l] \circledast x_2[k, l]) = X_1[n, m] \cdot X_2[n, m]$$
其中$\circledast$表示二维循环卷积。
证明：首先注意延迟-多普勒域的平移对应时频域的线性相位：
$$\text{SFFT}(x_2[k - k', l - l']) = X_2[n, m]e^{-j2\pi(\frac{mk'}{M} - \frac{nl'}{N})}$$
循环卷积的SFFT为：
$$\text{SFFT}\left(\sum_{k'=0}^{M-1} \sum_{l'=0}^{N-1} x_1[k', l']x_2[(k - k')\bmod M, (l - l')\bmod N]\right)$$
$$= \sum_{k'=0}^{M-1} \sum_{l'=0}^{N-1} x_1[k', l']X_2[n, m]e^{-j2\pi(\frac{mk'}{M} - \frac{nl'}{N})}$$
$$= X_2[n, m] \sum_{k'=0}^{M-1} \sum_{l'=0}^{N-1} x_1[k', l']e^{-j2\pi(\frac{mk'}{M} - \frac{nl'}{N})}$$
$$= X_2[n, m] \cdot X_1[n, m]$$
这个性质是OTFS能够将时变信道的乘性衰落转换为延迟-多普勒域卷积的数学基础。
