基于OCDM雷达系统的离散Fresnel域信道估计

de Oliveira L G, Nuss B, Alabd M B, et al. Discrete-fresnel domain channel estimation in OCDM-based radar systems[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 2022, 71(5): 2258-2275.

引言

正交啁啾分复用（OCDM）作为一种新兴的多载波调制方案，近年来在数字通信应用中越来越受到关注。相比于传统的正交频分复用（OFDM），OCDM展现出了优越的性能，特别是在应对信道频率选择性和符号间干扰等损伤方面表现出更强的鲁棒性。本文深入研究了OCDM基雷达系统中的离散Fresnel域信道估计方法，这种方法作为传统相关处理的替代方案，能够有效降低由于符号调制引起的高旁瓣电平问题。

离散Fresnel域中时间和频率偏移的影响

系统模型与离散Fresnel变换

考虑一个OCDM系统，其发送帧的离散Fresnel域表示为复矩阵 $\dot{\mathbf{X}} \in \mathbb{C}^{N \times M}$，其中 $N \in \mathbb{N}^+$ 表示OCDM符号长度和子啁啾数量，$M \in \mathbb{N}^+$ 表示帧中OCDM符号的总数。在传输之前，$\dot{\mathbf{X}}$ 的各列需要进行逆离散Fresnel变换（IDFnT）以产生离散时域表示 $\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{N \times M}$。

矩阵 $\mathbf{x}$ 中第 $n$ 行第 $m$ 列的元素 $x{n,m} \in \mathbb{C}$ 与 $\dot{\mathbf{X}}$ 中相同位置的元素 $\dot{X}{k,m} \in \mathbb{C}$ 之间的关系表示为：

$$x_{n,m} = \frac{1}{N} e^{j\frac{\pi}{4}} \sum_{k=0}^{N-1} \dot{X}_{k,m} e^{-j\frac{\pi}{N}(n-k)^2}$$

其中 $k \in {0, 1, \ldots, N-1}$ 是所有 $M$ 个OCDM符号的子啁啾索引。为了防止符号间干扰（ISI），需要在 $\mathbf{x}$ 的每列前添加长度为 $N{CP}$ 的循环前缀，得到 $\mathbf{x}{CP} \in \mathbb{C}^{(N+N{CP}) \times M}$。成功避免ISI的条件是 $N{CP} \geq N_h - 1$，其中 $N_h$ 是信道冲激响应（CIR）的期望长度。

频率偏移的单独影响

如果在传播过程中仅经历频率偏移 $f_\Delta$，则接收端去除循环前缀后得到的离散时域帧 $\mathbf{y}$ 的第 $n$ 行第 $m$ 列元素可表示为：

$$y_{n,m} = x_{n,m} e^{j2\pi f_\Delta n/B} e^{j\phi_m}$$

为简化分析，定义归一化频率偏移 $k\Delta \triangleq f\Delta/(B/N)$ 和相位 $\phim \triangleq 2\pi k\Delta[m(N+N{CP})+N{CP}]/N$。

对 $\mathbf{y}$ 执行列向DFnT后，得到矩阵 $\dot{\mathbf{Y}}$ 的第 $k$ 行第 $m$ 列元素：

$$\dot{Y}_{k,m} = e^{-j\frac{\pi}{4}} \sum_{n=0}^{N-1} \left(x_{n,m} e^{j2\pi k_\Delta n/N} e^{j\phi_m}\right) e^{j\frac{\pi}{N}(n-k)^2}$$

经过一系列代数运算（详见附录A），可以得到：

$$\dot{Y}_{k,m} = e^{j\phi_m} \dot{X}_{\langle k-k_\Delta \rangle_N,m} e^{j\frac{\pi}{N}(2kk_\Delta - k_\Delta^2)}$$

当 $k\Delta \in \mathbb{Z}$ 时，即频率偏移是 $B/N$ 的整数倍时。这一结果表明，频率偏移导致了循环移位 $k\Delta$ 个采样，以及由复指数 $e^{j\frac{\pi}{N}(2kk\Delta - k\Delta^2)}$ 引起的列内元素相位旋转。此外，频率偏移还通过 $e^{j\phi_m}$ 引入了OCDM符号间的相位旋转。

时间偏移的单独影响

当OCDM信号通过具有离散时域CIR表示 $\mathbf{h} \in \mathbb{C}^{N_h \times 1}$ 的信道传输时，接收端去除循环前缀后的离散时域帧 $\mathbf{y}$ 的列是 $\mathbf{x}$ 的列与 $\mathbf{h}$ 的循环卷积结果：

$$y_{n,m} = x_{n,m} \circledast h_n = \sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu x_{\langle n-\nu \rangle_N,m}$$

其中 $\circledast$ 表示循环卷积算子，$\nu \in {0, 1, \ldots, N-1}$。

对 $\mathbf{y}$ 执行列向DFnT，得到离散Fresnel域帧表示矩阵 $\dot{\mathbf{Y}}$，其第 $k$ 行第 $m$ 列元素为：

$$\dot{Y}_{k,m} = e^{-j\frac{\pi}{4}} \sum_{n=0}^{N-1} \left(\sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu x_{\langle n-\nu \rangle_N,m}\right) e^{j\frac{\pi}{N}(n-k)^2}$$

通过变量替换和重新排列（详见附录B），最终可以得到：

$$\dot{Y}_{k,m} = \sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu \dot{X}_{\langle k-\nu \rangle_N,m}$$

这就是DFnT的卷积定理：$y{n,m} = x{n,m} \circledast hn$ 对应于 $\dot{Y}{k,m} = \dot{X}_{k,m} \circledast h_k$。

时间和频率偏移的联合影响

当OCDM发送信号通过信道传播时同时经历时间偏移（由CIR $\mathbf{h}$ 表示）和归一化频率偏移 $k_\Delta$ 时，接收端去除循环前缀后的离散时域帧元素可表示为：

$$y_{n,m} = (x_{n,m} \circledast h_n) e^{j2\pi k_\Delta n/N} e^{j\phi_m}$$

定义辅助矩阵 $\mathbf{r} \in \mathbb{C}^{N \times M}$，其元素 $r{n,m} \triangleq x{n,m} \circledast h_n$。

基于前面的分析结果，$\dot{Y}{k,m}$ 可以表示为 $\dot{X}{k,m}$ 的函数（详细推导见附录C）：

$$\dot{Y}_{k,m} = \frac{e^{j\phi_m}}{N} \sum_{\kappa=0}^{N-1} \left(\sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu \dot{X}_{\langle \kappa-\nu \rangle_N,m}\right) e^{j\frac{\pi}{N}(k^2-\kappa^2)} \cdot \frac{e^{j2\pi(k_\Delta-k+\kappa)} - 1}{e^{j\frac{2\pi}{N}(k_\Delta-k+\kappa)} - 1}$$

在 $k_\Delta \in \mathbb{Z}$ 的特殊情况下：

$$\dot{Y}_{k,m} = e^{j\phi_m} \left(\sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu \dot{X}_{\langle (k-k_\Delta)-\nu \rangle_N,m}\right) e^{j\frac{\pi}{N}(2kk_\Delta - k_\Delta^2)}$$

这表明CIR卷积之后又发生了 $k_\Delta$ 个采样的循环移位，同时伴随着与距离和多普勒相关的相位项，导致子啁啾间干扰（IChI）。

离散Fresnel域雷达信道估计

导频设计策略

本文采用改进的离散Fresnel域导频设计策略，该策略最初由文献[21]提出用于相干光OFDM系统，后在文献[22]中进一步改进。最简单的离散Fresnel域信道估计策略是发送一个仅第一个子啁啾激活的导频OCDM符号。基于DFnT的卷积定理，接收的OCDM符号将直接包含CIR估计。

包含 $M$ 个离散Fresnel域导频OCDM符号的发送帧矩阵 $\dot{\mathbf{X}}$ 的第 $k$ 行第 $m$ 列元素定义为：

$$\dot{X}_{k,m} = \delta[k]$$

其中 $\delta[k]$ 是Kronecker delta函数。由于帧内所有OCDM符号相同，不需要循环前缀。

相位折叠补偿

图1展示了由于传播时延引起的信道频率响应相位进展。 上图显示了射频（RF）频段 $f \in [f_c - B/2, f_c + B/2]$ 的连续频率域信道频率响应（CFR）相位的线性递增。下图显示了基带（BB）频谱中的相位，由于频谱的循环特性，相位在 $k = N/2$ 处发生折叠。红色虚线标示了实际的线性相位进展，而蓝色实线显示了由于频谱循环导致的相位折叠效应。

为了正确估计飞行时间（ToF）和目标距离，需要对相位折叠进行补偿。补偿可以通过两种方式实现：

1. 将 $\dot{\mathbf{Y}}^{rad}$ 的每个第 $k$ 个元素乘以 $e^{j\pi k}$
2. 在离散频域执行 $N/2$ 采样的循环移位

补偿后的雷达CIR估计矩阵 $\hat{\mathbf{h}}^{rad,corr} \in \mathbb{C}^{N \times M}$ 的元素为：

$$\hat{h}_{n,m}^{rad,corr} = e^{j\pi n} \hat{h}_{n,m}^{rad} = \tilde{h}_{n,m}^{rad}$$

当不存在多普勒频移时（$k{\Delta,\eta} = 0$ 且 $\phi{m,\eta} = 0$）。

距离-多普勒耦合效应

当存在多个点目标时，理想的离散时域接收OCDM帧 $\tilde{\mathbf{y}}^{rad} \in \mathbb{C}^{N \times M}$ 的元素表示为：

$$\tilde{y}_{n,m}^{rad} = \sum_{\eta=0}^{H-1} \left[\sum_{\nu=0}^{N-1} x_{\nu,m} \cdot \frac{e^{j2\pi(n_{\Delta,\eta}-n+\nu)} - 1}{e^{j\frac{2\pi}{N}(n_{\Delta,\eta}-n+\nu)} - 1}\right] e^{j2\pi k_{\Delta,\eta}n/N} e^{j\phi_{m,\eta}}$$

其中 $H$ 是目标数量，$n{\Delta,\eta} = 2R\eta B/c0$ 是第 $\eta$ 个目标的归一化距离项，$R\eta$ 是以米为单位的距离，$c_0$ 是真空中的光速。

在 $n{\Delta,\eta} \in \mathbb{Z}$ 和 $k{\Delta,\eta} \in \mathbb{Z}$ 的特殊情况下，相位折叠补偿后的信道估计为：

$$\hat{h}_{n,m}^{rad,corr} = \sum_{\eta=0}^{H-1} e^{j\phi_{m,\eta}} \delta[\langle n-(n_{\Delta,\eta}+k_{\Delta,\eta}) \rangle_N] e^{j\frac{\pi}{N}[2nk_{\Delta,\eta}-k_{\Delta,\eta}^2+N(n_{\Delta,\eta}+k_{\Delta,\eta})]}$$

这揭示了距离-多普勒耦合现象：多普勒频移不仅引起相位旋转，还导致距离估计的偏移。

实验结果与性能分析

仿真性能指标

图4展示了单目标情况下不同归一化距离 $n_\Delta = 2RB/c0$ 和归一化多普勒频移 $k\Delta = f_D/\Delta f$ 组合的性能退化。

• 图4(a)显示峰值功率损失比（PPLR），在 $n\Delta \in [0, 767] \cup [1279, 2048]$ 且 $k\Delta = -0.5$ 的区域，处理增益退化高达4 dB。
• 图4(b)显示峰值旁瓣电平比（PSLR），表示最高旁瓣与主瓣的比值。
• 图4(c)显示积分旁瓣电平比（ISLR），表示积分旁瓣电平与积分主瓣电平的比值。

颜色图谱从深蓝色（无退化）到黄色（严重退化）表示性能变化。大部分退化仅在 $|k_\Delta| > 0.1$ 时才能观察到，这也是OFDM基雷达和雷达通信系统的典型容限。

测量结果验证

实验采用Xilinx Zynq UltraScale+ RFSoC ZCU111平台，系统参数设置为：

• 载频：$f_c = 79$ GHz
• 带宽：$B = 1$ GHz
• 子啁啾数：$N = 2048$
• OCDM符号数：$M = 5120$
• 发射功率：$P_{Tx} = 0$ dBm

图5展示了使用雷达目标模拟器（RTS）测量得到的距离-速度雷达图像。 目标设置为30米处（$n\Delta = 200$），雷达截面积（RCS）$\sigma{RCS} = 30$ dBsm，速度从0 m/s变化到463.56 m/s。

• 图5(a)：相对径向速度0 m/s（$k_\Delta = 0$），显示清晰的目标峰值
• 图5(b)：速度92.71 m/s（$k_\Delta = -0.1$），目标仍可准确检测
• 图5(c)：速度231.78 m/s（$k_\Delta = -0.25$），开始出现距离偏移
• 图5(d)：速度463.56 m/s（$k_\Delta = -0.5$），明显的峰值分裂和距离-多普勒耦合

归一化幅度以dB为单位显示，颜色从深蓝色（-60 dB）到红色（0 dB）表示信号强度。

图6和图7分别展示了SISO和MIMO配置下的距离剖面对比。 图中比较了四种系统：

• 星号（⋆）：OCDM基雷达系统
• 圆圈（○）：扇区调制OCDM雷达通信系统
• 方块（□）：传统OCDM雷达通信系统
• 三角（△）：OFDM雷达通信系统

在零多普勒频移时，所有系统性能相当。在 $k\Delta = -0.1$（OFDM的最大容限）时，所提出的OCDM系统仍保持良好性能。当 $k\Delta = -0.25$ 和 $k_\Delta = -0.5$ 时，出现峰值分裂现象，但这些高速度在实际场景中很少出现。

雷达通信联合系统性能

图8展示了通信信道频率响应（CFR）的幅度响应。 频率选择性是由于中频（IF）采样架构的sinc整形以及电缆、巴伦和滤波器的未校准效应造成的。基带频率从-0.5 GHz到0.5 GHz，幅度响应变化约12.5 dB，表现出明显的频率选择性衰落。

图9展示了归一化接收QPSK星座图。

• 红色星号：扇区调制OCDM系统，估计SNR = 29.65 dB，平均EVM = -26.27 dB
• 蓝色圆圈：传统OCDM系统，估计SNR = 29.74 dB，平均EVM = -26.20 dB
• 绿色方块：OFDM系统，估计SNR = 29.65 dB，平均EVM = -27.64 dB

虚线圆表示单位半径参考，十字表示理想QPSK星座点。OCDM系统在频率选择性信道中表现出更好的鲁棒性，虽然平均EVM略高于OFDM，但标准差更小（5.59 dB对比6.30 dB）。

图10展示了基带峰均功率比（PAPR）的互补累积分布函数（CCDF）。

• 实线：OCDM基雷达系统及其MIMO变体，PAPR极低（约0 dB）
• 虚线：扇区调制OCDM雷达通信系统，平均PAPR约6 dB
• 点线：OFDM和传统OCDM雷达通信系统，平均PAPR约7.1 dB

扇区调制OCDM相比OFDM降低了约1.1 dB的PAPR，这类似于OFDM系统中音调保留技术的效果。

结论

本文深入研究了基于离散Fresnel域信道估计的OCDM雷达系统。通过严格的数学分析，揭示了时间和频率偏移在离散Fresnel域中的影响机制，建立了完整的理论框架。所提出的处理策略通过战略性的子啁啾分配，充分利用了DFnT的脉冲压缩特性。

实验结果表明，在实际应用条件下，该系统能够提供与OFDM相当的雷达感知性能，同时在以下方面具有优势：

• 显著降低的PAPR（降低1.1 dB）
• 在频率选择性信道中更好的通信鲁棒性
• 灵活的雷达通信资源分配能力

这种基于离散Fresnel域的处理方法为未来6G集成感知与通信系统提供了一种有前景的技术路径。

附录

附录A：频率偏移影响

从式(3)开始，我们有：
$$y_{n,m} = x_{n,m} e^{j2\pi k_\Delta n/N} e^{j\phi_m}$$

执行列向DFnT：
$$\dot{Y}_{k,m} = e^{-j\frac{\pi}{4}} \sum_{n=0}^{N-1} y_{n,m} e^{j\frac{\pi}{N}(n-k)^2}$$

代入 $y_{n,m}$ 的表达式：
$$\dot{Y}_{k,m} = e^{j\phi_m} e^{-j\frac{\pi}{4}} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n,m} e^{j\frac{\pi}{N}(n^2-2n(k-k_\Delta)+k^2)}$$

注意到：
$$n^2 - 2nk + k^2 + 2nk_\Delta = [n-(k-k_\Delta)]^2 + 2kk_\Delta - k_\Delta^2$$

因此：
$$\dot{Y}_{k,m} = e^{j\phi_m} e^{j\frac{\pi}{N}(2kk_\Delta-k_\Delta^2)} e^{-j\frac{\pi}{4}} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n,m} e^{j\frac{\pi}{N}[n-(k-k_\Delta)]^2}$$

将 $x{n,m}$ 表示为 $\dot{X}{k,m}$ 的IDFnT：
$$x_{n,m} = \frac{1}{N} e^{j\frac{\pi}{4}} \sum_{\kappa=0}^{N-1} \dot{X}_{\kappa,m} e^{-j\frac{\pi}{N}(n-\kappa)^2}$$

代入并重新排列：
$$\dot{Y}_{k,m} = \frac{e^{j\phi_m}}{N} \sum_{\kappa=0}^{N-1} \dot{X}_{\kappa,m} e^{j\frac{\pi}{N}(k^2-\kappa^2)} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j\frac{\pi}{N}n(-2k+2k_\Delta+2\kappa)}$$

右侧的求和是有限几何级数：
$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{j\frac{2\pi}{N}n(k_\Delta-k+\kappa)} = \frac{e^{j2\pi(k_\Delta-k+\kappa)} - 1}{e^{j\frac{2\pi}{N}(k_\Delta-k+\kappa)} - 1}$$

当 $k\Delta \in \mathbb{Z}$ 时，该比值等于 $N\delta[\langle \kappa-(k-k\Delta) \rangle_N]$，最终得到：
$$\dot{Y}_{k,m} = e^{j\phi_m} \dot{X}_{\langle k-k_\Delta \rangle_N,m} e^{j\frac{\pi}{N}(2kk_\Delta-k_\Delta^2)}$$

附录B：时间偏移影响

从循环卷积开始：
$$y_{n,m} = \sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu x_{\langle n-\nu \rangle_N,m}$$

执行DFnT：
$$\dot{Y}_{k,m} = e^{-j\frac{\pi}{4}} \sum_{n=0}^{N-1} \left(\sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu x_{\langle n-\nu \rangle_N,m}\right) e^{j\frac{\pi}{N}(n-k)^2}$$

令 $l = \langle n-\nu \rangle_N$，则 $n = \langle l+\nu \rangle_N$：
$$\dot{Y}_{k,m} = \sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu e^{j\frac{\pi}{N}(\nu^2-2\nu k)} e^{-j\frac{\pi}{4}} \sum_{l=0}^{N-1} x_{l,m} e^{j2\pi\nu l/N} e^{j\frac{\pi}{N}(l-k)^2}$$

内部求和可以识别为带有频移的IDFnT。应用之前的结果：
$$\dot{Y}_{k,m} = \sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu e^{j\frac{\pi}{N}(\nu^2-2\nu k)} \cdot \frac{1}{N} \sum_{\kappa=0}^{N-1} \dot{X}_{\kappa,m} e^{j\frac{\pi}{N}(k^2-\kappa^2)} \cdot \frac{e^{j2\pi(\nu-k+\kappa)} - 1}{e^{j\frac{2\pi}{N}(\nu-k+\kappa)} - 1}$$

由于 $k, \kappa, \nu \in \mathbb{N}$，比值简化为 $N\delta[\langle \kappa-(k-\nu) \rangle_N]$：
$$\dot{Y}_{k,m} = \sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu \dot{X}_{\langle k-\nu \rangle_N,m}$$

附录C：联合时间和频率偏移

定义 $r{n,m} = x{n,m} \circledast h_n$，则：
$$y_{n,m} = r_{n,m} e^{j2\pi k_\Delta n/N} e^{j\phi_m}$$

定义 $\dot{\mathbf{R}}$ 为 $\mathbf{r}$ 的列向DFnT，根据时间偏移的结果：
$$\dot{R}_{k,m} = \sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu \dot{X}_{\langle k-\nu \rangle_N,m}$$

现在 $\dot{Y}{k,m}$ 可以从 $\dot{R}{k,m}$ 通过频率偏移的结果得到：
$$\dot{Y}_{k,m} = e^{j\phi_m} \dot{R}_{\langle k-k_\Delta \rangle_N,m} e^{j\frac{\pi}{N}(2kk_\Delta-k_\Delta^2)}$$

将 $\dot{R}_{k,m}$ 的表达式代入：
$$\dot{Y}_{k,m} = e^{j\phi_m} \left(\sum_{\nu=0}^{N-1} h_\nu \dot{X}_{\langle (k-k_\Delta)-\nu \rangle_N,m}\right) e^{j\frac{\pi}{N}(2kk_\Delta-k_\Delta^2)}$$

这就是时间和频率偏移的联合影响，表现为CIR卷积后的额外循环移位和相位旋转。

附录D：有限几何级数求解

对于有限几何级数：
$$\sum_{\eta=0}^{\gamma} \alpha^\eta = 1 + \alpha + \alpha^2 + \cdots + \alpha^\gamma$$

当 $\alpha \neq 1$ 时：
$$\sum_{\eta=0}^{\gamma} \alpha^\eta = \frac{\alpha^{\gamma+1} - 1}{\alpha - 1}$$

其中 $\eta \in \mathbb{N}$，$\gamma \in \mathbb{N}$，$\alpha \in \mathbb{C}$。

这个公式在推导频率偏移和时间偏移影响时被多次使用，特别是在处理形如 $\sum_{n=0}^{N-1} e^{j2\pi nq/N}$ 的求和时，其中 $q$ 是某个表达式。