正交啁啾分复用技术：基于菲涅尔变换的通信系统设计
X. Ouyang and J. Zhao, "Orthogonal Chirp Division Multiplexing," in IEEE Transactions on Communications, vol. 64, no. 9, pp. 3946-3957, Sept. 2016, doi: 10.1109/TCOMM.2016.2594792.
1. 引言与研究背景
啁啾波形在现代雷达和通信系统中具有举足轻重的地位，其独特的脉冲压缩和扩频能力使其成为许多应用的首选。啁啾信号本质上是一种频率随时间线性变化的信号，这种特性在自然界和工程应用中广泛存在。从光学中的菲涅尔衍射到雷达系统的脉冲压缩，从扩频通信到超宽带传输，啁啾信号的应用无处不在。
传统的啁啾扩频（CSS）系统虽然提供了良好的抗干扰能力和多径分辨能力，但其频谱效率相对较低。在给定的时间周期$T$和带宽$B$内，通常只能传输单个啁啾信号。如果在同一时间和带宽内存在多个啁啾，会产生啁啾间干扰。为了提高数据速率，多码超宽带系统通过将整个频谱划分为多个频谱分离的啁啾来实现，但这种方法仍然没有充分利用时频资源。
本文提出的正交啁啾分复用（OCDM）技术旨在解决这一问题。通过在相同的时间周期和带宽内正交复用多个啁啾波形，OCDM能够显著提高频谱效率。该技术的理论基础是菲涅尔变换，正如傅里叶变换构成了OFDM的数学基础一样。
2. 菲涅尔变换的理论基础
2.1 连续菲涅尔变换
菲涅尔变换起源于经典光学，是描述近场光学衍射行为的数学工具。考虑图1所示的情况：当波长为$\lambda$的单色平面波通过一个尺寸与$\lambda$相当的圆形孔径时，在距离$z$处的平板上观察到的近场衍射图案呈现出特征性的同心圆环结构。
图1描述：图1展示了近场Kirchhoff-Fresnel衍射现象。(a)部分显示了圆形孔径的衍射几何配置，其中入射平面波通过第一个平板上的圆孔，在距离$z$处的第二个平板上形成衍射图案。(b)部分展示了实际的衍射图案，呈现出明暗相间的同心圆环，这就是著名的菲涅尔衍射图案。(c)部分显示了一个线性啁啾波形，在0到1秒内频率从低到高线性增加（上啁啾），在1到2秒内频率从高到低线性减少（下啁啾）。(d)部分是对应的频谱图，清晰地显示了频率随时间的线性变化。
菲涅尔变换的数学表达式为：
$$\hat{s}(\tau) = \mathcal{F}_a\{s(t)\}(\tau) = \frac{e^{-j\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} s(t)e^{j\frac{\pi}{a}(\tau-t)^2} dt$$
其中$\mathcal{F}_a{\cdot}$表示参数为$a$的菲涅尔变换算子，$a = \lambda z$是归一化塔尔博特距离。展开指数项：
$$e^{j\frac{\pi}{a}(\tau-t)^2} = e^{j\frac{\pi\tau^2}{a}} \cdot e^{-j\frac{2\pi\tau t}{a}} \cdot e^{j\frac{\pi t^2}{a}}$$
这表明菲涅尔变换可以视为输入信号乘以二次相位因子后进行的调制傅里叶变换。
菲涅尔变换还可以表示为卷积形式：
$$\hat{s}(\tau) = s(\tau) * \varphi_a(\tau)$$
其中核函数为：
$$\varphi_a(t) = \frac{e^{j\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{a}} e^{j\frac{\pi t^2}{a}}$$
2.2 菲涅尔变换的卷积定理
菲涅尔变换具有独特的卷积性质，这是Gori在1994年强调的"被忽视"但重要的性质：
$$\mathcal{F}_a\{h(t) * s(t)\} = \hat{h}(\tau) * \hat{s}(\tau) = h(\tau) * \hat{s}(\tau)$$
这个性质表明，两个函数卷积的菲涅尔变换等于其中一个函数与另一个函数菲涅尔变换的卷积。这与傅里叶变换的卷积定理（卷积变为乘积）有本质区别。
2.3 离散菲涅尔变换
离散菲涅尔变换与塔尔博特效应密切相关。塔尔博特效应是指周期性光栅在特定距离处自成像的现象，如图3所示。
图3描述：图3展示了塔尔博特效应的示意图。当光通过周期性光栅后，在塔尔博特距离$Z_T$的分数位置$Z_T/N$处，会形成光栅的自成像。图中显示了在不同分数塔尔博特距离处的光强分布，可以看到周期性的光点阵列。DFnT矩阵的元素正是描述这些光点的场系数。
$N \times N$的DFnT矩阵$\Phi$的元素定义为：
$$\Phi(m,n) = \frac{1}{\sqrt{N}} e^{-j\frac{\pi}{4}} \times \begin{cases} e^{j\frac{\pi(m-n)^2}{N}} & N \equiv 0\pmod{2} \\ e^{j\frac{\pi}{N}\left(m+\frac{1}{2}-n\right)^2} & N \equiv 1\pmod{2} \end{cases}$$
DFnT具有循环卷积性质：对于循环卷积$\mathbf{r} = \mathbf{h} \circledast \mathbf{s}$，其DFnT为：
$$\hat{\mathbf{r}} = \Phi\mathbf{r} = \mathbf{H}\hat{\mathbf{s}} = \mathbf{S}\hat{\mathbf{h}}$$
其中$\mathbf{H}$和$\mathbf{S}$是以$\mathbf{h}$和$\mathbf{s}$为第一列的循环矩阵。
3. 正交啁啾分复用系统设计
3.1 啁啾信号的基本特性
频率调制的啁啾信号可以表示为：
$$\psi(t) = e^{j(\alpha t^2 + \phi_0)}$$
其瞬时频率为：
$$f(t) = \frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}[\alpha t^2 + \phi_0] = \frac{\alpha t}{2\pi}$$
对于时间限制在$[0, T]$内的啁啾信号，带宽$B$由啁啾率$\alpha$和周期$T$决定：
$$B = \frac{\alpha T}{2\pi}$$
时间带宽积$BT = \frac{\alpha T^2}{2\pi}$表征了啁啾信号的处理增益。
3.2 正交啁啾波形的构造
为了在OCDM中应用菲涅尔变换，需要将光学中的空间塔尔博特效应适配到时域。定义时间塔尔博特距离：
$$Z_T = \frac{T^2}{\lambda}$$
对于$N$个啁啾波形，取塔尔博特距离的分数$z = Z_T/N$，得到参数$a = T^2/N$。根啁啾波形定义为：
$$\psi_0(t) = \Pi_T(t) \cdot \varphi_a^*(t)|_{a=T^2/N} = \begin{cases} e^{j\frac{\pi}{4}}e^{-j\frac{\pi N t^2}{T^2}} & 0 \leq t < T \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$
第$k$个啁啾波形通过时移得到：
$$\psi_k(t) = \Pi_T(t) \cdot e^{j\frac{\pi}{4}}e^{-j\frac{\pi N}{T^2}\left(t-k\frac{T}{N}\right)^2}, \quad 0 \leq t < T$$
图2描述：图2对比了多码啁啾系统和OCDM系统的时频资源利用。(a)部分展示了传统多码系统，其中不同啁啾在频域上分离以避免干扰，每个啁啾占据部分带宽。(b)部分展示了OCDM系统的创新之处：多个啁啾在相同的时间和带宽内正交复用，通过啁啾维度的正交性避免相互干扰，显著提高了频谱效率。
3.3 正交性证明
啁啾波形的正交性可通过以下积分验证：
$$\int_0^T \psi_m^*(t)\psi_n(t)dt = \int_0^T e^{j\frac{\pi N}{T^2}\left[\left(t-m\frac{T}{N}\right)^2 - \left(t-n\frac{T}{N}\right)^2\right]} dt$$
$$= \int_0^T e^{j\frac{2\pi N(m-n)t}{T^2}}e^{j\frac{\pi(n^2-m^2)}{N}} dt = \delta(m-n)$$
图4描述：图4对比展示了OFDM和OCDM中的正交波形族。左侧(a)和(b)显示了OFDM中16个正交线性指数波形的实部和虚部，这些波形在频域正交。右侧(c)和(d)显示了OCDM中16个正交啁啾波形的实部和虚部，这些二次指数波形在啁啾维度正交。可以观察到OCDM波形的频率随时间变化的特征。
3.4 OCDM信号的合成与解调
在OCDM系统中，第$k$个符号$x(k)$调制第$k$个啁啾波形，合成的OCDM信号为：
$$s(t) = \sum_{k=0}^{N-1} x(k)\psi_k(t), \quad 0 \leq t < T$$
图5描述：图5展示了OCDM收发机的原理框图。(a)部分是发射机，多个调制符号$x(0)$到$x(N-1)$分别乘以对应的正交啁啾波形$\psi0(t)$到$\psi{N-1}(t)$，然后求和形成复合OCDM信号。(b)部分是接收机，接收信号通过$N$个匹配滤波器（共轭啁啾波形）进行相关检测，恢复出原始符号。
通过第$m$个啁啾的匹配滤波器提取符号：
$$x'(m) = \int_0^T s(t)\psi_m^*(t)dt = \sum_{k=0}^{N-1}x(k)\int_0^T \psi_k(t)\psi_m^*(t)dt = x(m)$$
4. OCDM系统的数字实现
4.1 离散化过程
对连续时间OCDM信号在$t = n\frac{T}{N}$处采样，得到离散信号。对于$N$为偶数的情况：
$$s(n) = s(t)|_{t=n\frac{T}{N}} = \sum_{k=0}^{N-1}x(k)\psi_k\left(n\frac{T}{N}\right)$$
$$= \frac{e^{j\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}x(k)e^{-j\frac{\pi(n-k)^2}{N}}$$
这正是逆离散菲涅尔变换（IDFnT）的形式。对于$N$为奇数的情况：
$$s(n) = \frac{e^{j\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1}x(k)e^{-j\frac{\pi}{N}\left(n-k+\frac{1}{2}\right)^2}$$
4.2 矩阵表示
用矩阵形式表示：
$$\mathbf{s} = \Phi^H\mathbf{x}$$
其中$\mathbf{x} = [x(0), x(1), ..., x(N-1)]^T$是符号向量，$\Phi^H$是IDFnT矩阵。在接收端：
$$\mathbf{x}' = \Phi\mathbf{s} = \Phi\Phi^H\mathbf{x} = \mathbf{x}$$
图6描述：图6展示了OCDM系统的完整数字实现框图。发射端包括映射、串并转换、IDFnT、添加循环前缀、并串转换和数模转换。接收端包括相应的逆操作，以及关键的均衡器模块。插图(a)显示了时域均衡器的横向滤波器结构，(b)显示了频域均衡器，通过DFT-IDFT变换在频域进行单抽头均衡。
5. LTI信道下的传输分析
5.1 信道模型
考虑线性时不变（LTI）或准静态信道，信道在一个OCDM块内保持不变。使用循环前缀（CP）避免符号间干扰，接收信号为：
$$\mathbf{r} = \mathbf{Hs} + \mathbf{n} = \mathbf{H}\Phi^H\mathbf{x} + \mathbf{n}$$
其中$\mathbf{H}$是循环信道矩阵，第一列为$\mathbf{h} = [h(0), h(1), ..., h(L-1), 0, ..., 0]^T$。
5.2 DFnT域的信道效应
在接收端执行DFnT：
$$\mathbf{r}' = \Phi\mathbf{r} = \Phi\mathbf{H}\Phi^H\mathbf{x} + \Phi\mathbf{n}$$
根据DFnT的循环卷积性质：
$$\mathbf{r}' = \mathbf{H}\mathbf{x} + \Phi\mathbf{n}$$
这表明啁啾波形对信道是"透明"的——就像符号直接通过信道传输，而未经啁啾调制。
5.3 高效均衡算法
基于DFnT的特征分解，提出高效的频域均衡算法。将接收信号变换到频域：
$$\mathbf{y} = \mathbf{Fr} = \mathbf{FH}\Phi^H\mathbf{x} + \mathbf{Fn}$$
利用$\mathbf{I} = \mathbf{F}^H\mathbf{F}$：
$$\mathbf{y} = \mathbf{FHF}^H\mathbf{F}\Phi^H\mathbf{F}^H\mathbf{Fx} + \mathbf{w} = \mathbf{\Lambda}\mathbf{\Gamma}^H\mathbf{Fx} + \mathbf{w}$$
其中$\mathbf{\Lambda}$是对角信道频率响应矩阵，$\mathbf{\Gamma}$是对角相位矩阵，其第$k$个对角元素为：
$$\Gamma(k) = \begin{cases} e^{-j\frac{\pi k^2}{N}} & N \equiv 0\pmod{2} \\ e^{-j\frac{\pi}{N}\left(k+\frac{1}{2}\right)^2} & N \equiv 1\pmod{2} \end{cases}$$
图7描述：图7展示了提出的单抽头频域均衡算法。接收信号经过DFT变换到频域，然后通过相位补偿消除$\Gamma$的影响，接着进行单抽头均衡补偿信道效应，最后通过IDFT变换回时域恢复符号。这种算法避免了接收端的DFnT操作，降低了计算复杂度。
均衡后的信号：
$$\mathbf{y}' = \mathbf{G}\mathbf{\Gamma}\mathbf{y} = \mathbf{G}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Fx} + \mathbf{G}\mathbf{\Gamma}\mathbf{w}$$
对于ZF均衡：$G(k) = \Lambda^{-1}(k)$；对于MMSE均衡：
$$G_{\text{MMSE}}(k) = \frac{\Lambda^*(k)}{|\Lambda(k)|^2 + \rho^{-1}}$$
6. 系统实现与兼容性
6.1 与OFDM的关系
菲涅尔变换核可以分解为傅里叶变换核和二次相位项：
$$\varphi_a(f,t) = e^{-j\frac{\pi}{4}a}e^{j\frac{\pi f^2}{a}}e^{-j2\pi ft+j\frac{\pi t^2}{a}}$$
在离散情况下，DFnT可通过三步实现：
- 乘以啁啾相位$\Theta_2(n) = e^{-j\theta_2(n)}$
- 执行DFT
- 乘以啁啾相位$\Theta_1(m) = e^{-j\theta_1(m)}$
其中：
$$\theta_1(m) = \begin{cases} e^{j\frac{\pi m^2}{N}} & N \equiv 0\pmod{2} \\ e^{j\frac{\pi}{N}\left(m+\frac{1}{2}\right)^2} & N \equiv 1\pmod{2} \end{cases}$$
$$\theta_2(n) = \begin{cases} e^{j\frac{\pi n^2}{N}} & N \equiv 0\pmod{2} \\ e^{j\frac{\pi}{N}\left(n-\frac{1}{2}\right)^2} & N \equiv 1\pmod{2} \end{cases}$$
图8描述：图8展示了如何将OCDM集成到现有OFDM系统中。标准OFDM系统（不含虚线框部分）通过添加虚线框中的相位旋转模块即可实现OCDM。(a)发射机在IDFT前后添加相位旋转$\Theta_1^*$和$\Theta_2$。(b)接收机方案1通过相应的逆操作恢复信号。(c)接收机方案2采用提出的高效算法，只需单抽头均衡。
6.2 算法复杂度分析
表I总结了OCDM相对于OFDM的额外算法复杂度（以每符号复数乘法计）：
| 模块 | 接收机#1（TDE） | 接收机#1（FDE） | 接收机#2 |
|---|---|---|---|
| 发射机 | 2 | 2 | 2 |
| 接收机 | $L+2$ | $\log_2 N + 2$ | $0.5\log_2 N$ |
其中$L$是时域均衡器的抽头数，$N$是啁啾/子载波数。可见采用提出的接收机方案#2，OCDM的复杂度仅略高于OFDM。
7. 仿真结果与分析
7.1 仿真参数
仿真参数：系统带宽10 MHz，1024个啁啾，调制方式从4-QAM到64-QAM。考虑两种信道模型：
- 10径等增益瑞利衰落信道，最大时延扩展5.4 μs
- EVA信道模型（表II给出功率延迟谱）
7.2 性能分析
图9描述：图9展示了在10径瑞利衰落信道下的误比特率（BER）性能。可以观察到：使用ZF均衡的OCDM在低SNR区域性能较差（噪声增强效应），但随SNR增加逐渐接近OFDM。使用MMSE均衡的OCDM在高SNR区域明显优于OFDM，这得益于其利用多径分集的能力。不同调制阶数（4/16/64-QAM）表现出相似趋势，高阶调制对噪声更敏感。
图10描述：图10展示了EVA信道下采用接收分集的性能。(a)4-QAM、(b)16-QAM、(c)64-QAM的结果表明：双天线接收分集（2Rx）显著改善了OCDM的性能，即使ZF均衡也能超越OFDM。空间分集有效抑制了线性均衡器的噪声增强，使OCDM的多径分集优势得以充分发挥。
仿真结果表明：
- MMSE均衡的OCDM利用多径分集，在高SNR区域优于OFDM
- 空间分集能有效抑制噪声增强效应
- OCDM特别适合多径丰富的无线信道环境
8. 结论
本文提出的OCDM技术通过在相同时频资源内正交复用多个啁啾波形，显著提高了频谱效率。菲涅尔变换为OCDM提供了坚实的理论基础，其独特的卷积性质使得啁啾波形对色散信道"透明"。提出的高效均衡算法基于DFnT的特征分解，降低了计算复杂度。OCDM与现有OFDM系统高度兼容，可通过简单的相位旋转操作实现。仿真结果验证了OCDM在多径信道下的优越性能，特别是结合空间分集技术时。这些特性使OCDM成为高速无线通信系统的一个有吸引力的选择。
附录A：菲涅尔变换
A.1 菲涅尔变换与线性正则变换的关系
菲涅尔变换是线性正则变换（LCT）的特例。一般的LCT定义为：
$$L_{(a,b,c,d)}\{s(t)\}(\tau) = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{jb}}e^{j\frac{d\tau^2}{2b}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{j\frac{at^2}{2b}}e^{-j\frac{2\pi t\tau}{b}}dt & b \neq 0 \\ \sqrt{d}e^{j\frac{cd\tau^2}{2}}s(d\tau) & b = 0 \end{cases}$$
其中参数矩阵满足$\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$且$ad - bc = 1$。
菲涅尔变换对应于参数：$a = d = 1$，$b = \lambda z$，$c = 0$，代入得：
$$\mathcal{F}_{\lambda z}\{s(t)\}(\tau) = \sqrt{\frac{1}{j\lambda z}}e^{j\frac{\tau^2}{2\lambda z}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{j\frac{t^2}{2\lambda z}}e^{-j\frac{2\pi t\tau}{\lambda z}}dt$$
令$a = \lambda z$，并使用$\sqrt{1/j} = e^{-j\pi/4}/\sqrt{1} = e^{-j\pi/4}$：
$$\mathcal{F}_a\{s(t)\}(\tau) = \frac{e^{-j\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{a}}e^{j\frac{\pi\tau^2}{a}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{j\frac{\pi t^2}{a}}e^{-j\frac{2\pi t\tau}{a}}dt$$
A.2 菲涅尔变换的卷积定理证明
设$r(t) = h(t) * s(t) = \int h(\xi)s(t-\xi)d\xi$，其菲涅尔变换为：
$$\hat{r}(\tau) = \frac{e^{-j\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{a}}\int r(t)e^{j\frac{\pi(\tau-t)^2}{a}}dt$$
$$= \frac{e^{-j\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{a}}\int\int h(\xi)s(t-\xi)e^{j\frac{\pi(\tau-t)^2}{a}}d\xi dt$$
令$u = t - \xi$，则$t = u + \xi$，$dt = du$：
$$\hat{r}(\tau) = \frac{e^{-j\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{a}}\int h(\xi)\int s(u)e^{j\frac{\pi(\tau-u-\xi)^2}{a}}du d\xi$$
$$= \frac{e^{-j\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{a}}\int h(\xi)e^{j\frac{\pi(\tau-\xi)^2}{a}}\left[\frac{e^{j\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{a}}\int s(u)e^{j\frac{\pi((\tau-\xi)-u)^2}{a}}du\right]d\xi$$
内层积分正是$s(t)$在点$\tau-\xi$处的菲涅尔变换$\hat{s}(\tau-\xi)$：
$$\hat{r}(\tau) = \int h(\xi)\hat{s}(\tau-\xi)d\xi = h(\tau) * \hat{s}(\tau)$$
类似地可证：$\hat{r}(\tau) = \hat{h}(\tau) * s(\tau)$
A.3 离散菲涅尔变换的循环卷积性质
对于长度为$N$的离散序列，循环卷积定义为：
$$r(n) = \sum_{k=0}^{N-1}h(k)s((n-k)\bmod N)$$
矩阵形式：$\mathbf{r} = \mathbf{Hs}$，其中$\mathbf{H}$是循环矩阵。
DFnT的循环卷积性质证明：
$$\hat{\mathbf{r}} = \Phi\mathbf{r} = \Phi\mathbf{Hs}$$
由于$\mathbf{H}$是循环矩阵，可以写成：
$$\mathbf{H} = \sum_{k=0}^{N-1}h(k)\mathbf{P}^k$$
其中$\mathbf{P}$是循环移位矩阵。因此：
$$\hat{\mathbf{r}} = \Phi\left(\sum_{k=0}^{N-1}h(k)\mathbf{P}^k\right)\mathbf{s} = \sum_{k=0}^{N-1}h(k)\Phi\mathbf{P}^k\mathbf{s}$$
根据DFnT的移位性质：$\Phi\mathbf{P}^k = \mathbf{D}_k\Phi$，其中$\mathbf{D}_k$是对角矩阵。因此：
$$\hat{\mathbf{r}} = \sum_{k=0}^{N-1}h(k)\mathbf{D}_k\Phi\mathbf{s} = \sum_{k=0}^{N-1}h(k)\mathbf{D}_k\hat{\mathbf{s}}$$
这可以重新排列为：
$$\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{H}\hat{\mathbf{s}}$$
其中$\mathbf{H}$作用于DFnT域。
附录B：正交啁啾波形的构造细节
B.1 时间塔尔博特距离的推导
从光学塔尔博特距离$Z_T = d^2/\lambda$出发，其中$d$是空间周期，$\lambda$是波长。在时域对应中：
- 空间周期$d$ → 时间周期$T$
- 空间坐标$x$ → 时间坐标$t$
- 波长$\lambda$保持为归一化参数
因此时间塔尔博特距离：
$$Z_T = \frac{T^2}{\lambda}$$
B.2 啁啾波形正交性的完整证明
考虑两个啁啾波形$\psi_m(t)$和$\psi_n(t)$的内积：
$$\langle\psi_m, \psi_n\rangle = \int_0^T \psi_m^*(t)\psi_n(t)dt$$
$$= \int_0^T e^{j\frac{\pi N}{T^2}\left[\left(t-m\frac{T}{N}\right)^2 - \left(t-n\frac{T}{N}\right)^2\right]}dt$$
展开平方项：
$$\left(t-m\frac{T}{N}\right)^2 - \left(t-n\frac{T}{N}\right)^2 = 2t\frac{T(m-n)}{N} - \frac{T^2(m^2-n^2)}{N^2}$$
代入积分：
$$\langle\psi_m, \psi_n\rangle = e^{j\frac{\pi(n^2-m^2)}{N}}\int_0^T e^{j\frac{2\pi(m-n)t}{T}}dt$$
当$m \neq n$时，积分：
$$\int_0^T e^{j\frac{2\pi(m-n)t}{T}}dt = \frac{T}{j2\pi(m-n)}\left[e^{j2\pi(m-n)} - 1\right] = 0$$
当$m = n$时，积分等于$T$。因此：
$$\langle\psi_m, \psi_n\rangle = T\delta_{mn}$$
B.3 DFnT矩阵的特征值
DFnT矩阵$\Phi$的特征值为：
$$\lambda_k = \begin{cases} e^{-j\frac{\pi k^2}{2N}} & N \equiv 0\pmod{4} \\ e^{-j\frac{\pi k^2}{2N}} & N \equiv 2\pmod{4} \\ e^{-j\frac{\pi(2k+1)^2}{8N}} & N \equiv 1\pmod{4} \\ e^{j\frac{\pi(2k+1)^2}{8N}} & N \equiv 3\pmod{4} \end{cases}$$
这些特征值在提出的高效均衡算法中起关键作用，因为它们决定了相位补偿矩阵$\Gamma$的对角元素。
