拿到数据想建模，但不知道用哪个分布？大部分教科书都在讲一堆你永远用不到的东西。实际工作中，你只需要掌握几个核心分布，然后知道什么时候该用哪个就够了。
这里是我在做分析、实验设计、风险建模时真正会用的8个分布。每个都会告诉你使用场景、快速拟合方法、需要避开的坑，以及现成的代码。
伯努利分布：最基础的二元事件
点击还是不点击，欺诈还是正常，用户流失还是留存。单次试验的成功失败问题，用伯努利分布就对了。
但是数据严重不平衡时别硬套伯努利，记得做校准处理。比如欺诈检测场景，正负样本比例差太多的话，直接用p估计会有偏。
import numpy as np
y = np.array([0,1,0,1,1,0,0,1])
p = y.mean() # MLE for Bernoulli
samples = np.random.binomial(1, p, size=10000)
二项分布：多次试验的累计结果
用户看了10次广告点了几次？50封邮件打开了多少？这种"N次机会中成功K次"的场景，二项分布最合适。
如果试验之间有关联（比如同一用户多次看广告），方差会比理论值大。这时候考虑用Beta-二项分布，能更好处理过度分散的情况。
from scipy.stats import binom
n, x = 50, 17
p_hat = x / n
ci = binom.interval(0.95, n, p_hat) # simple CI on counts
泊松分布：计数事件的标配
每分钟客服电话、每小时系统故障、每平方米缺陷数。这些稀有且相互独立的计数事件，泊松分布处理起来最直接。
方差远大于均值的话，说明数据过度分散了。这种情况泊松分布就不够用，得换负二项分布（实际上是泊松和伽马的混合）。
from scipy.stats import poisson
counts = [0,1,0,2,1,0,3,1]
lam = np.mean(counts)
pmf = poisson.pmf(np.arange(6), lam)
正态分布：数据分析的主力
KPI的平均值、传感器噪声、大样本的误差分析。正态分布虽然被用烂了，但在合适的场景下确实好用。
轻微偏斜或者有异常值的话，正态分布的估计就会偏。小样本或者明显厚尾的数据，直接上学生t分布更稳妥。
from scipy.stats import norm
mu, sigma = np.mean(counts), np.std(counts, ddof=1)
cdf90 = norm.cdf(90, mu, sigma)
学生t分布：处理小样本和异常值
数据有明显的厚尾特征，或者样本量不够大？正态分布容易被异常值带偏，这时候t分布更靠谱。测量数据偶尔出现的异常峰值、小样本的均值估计，都适合用它。
别把t分布当万能药。真的有严重异常值，还是得先清理数据或者做winsorizing处理，t分布只是比正态分布抗造一些。
from scipy.stats import t
nu = 5
# probability a standardized value is within 2 std
prob = t.cdf(2, df=nu) - t.cdf(-2, df=nu)
指数分布：等待时间建模
用户点击通知后多久会打开APP？系统两次故障之间间隔多久？只要是"等待第一次事件发生"的时间建模，而且事件发生率恒定，指数分布就很合适。
率参数λ，均值是1/λ。
from scipy.stats import expon
lam = 0.2
samples = expon(scale=1/lam).rvs(10000) # mean ≈ 1/lam
对数正态分布：处理乘性过程
用户会话时长、单用户收入、文件大小这些数据往往是多个正数因子相乘的结果。如果把数据取对数后看起来接近正态分布，那对数正态分布就是你要的。
尾部数据会严重拖累均值，做报告或者假设检验时用中位数和几何均值更稳定。
from scipy.stats import lognorm
sigma, mu = 0.8, 1.2
rv = lognorm(s=sigma, scale=np.exp(mu))
q95 = rv.ppf(0.95)
Beta分布：概率的概率
要建模转化率、缺陷率、分类器召回率这些本身就是概率的量？Beta分布天生就是干这个的。配合二项数据做贝叶斯推断特别好用。
α和β太小的话分布会很尖锐。做先验设置时要合理，比如α=β=1是均匀分布，α=β=2是相对温和的先验。
from scipy.stats import beta
alpha0, beta0 = 2, 2
x, n = 17, 50
posterior = beta(alpha0 + x, beta0 + (n - x))
credible = posterior.interval(0.95) # 95% credible interval for p
快速选择合适的分布
遇到具体问题，按这个思路走基本不会有错：
二元结果直接伯努利。N次试验中成功K次用二项，不过如果方差明显大于理论值就换Beta-二项。计数类型的用泊松，过度分散就上负二项。
均值类的数据优先考虑正态，有厚尾或者样本小就用t分布。等待时间且发生率恒定选指数，发生率会变化就考虑韦伯分布。
正数且明显右偏的数据试试对数正态，或者你想直接控制均值和形状参数的话用伽马分布也行。要建模概率本身，Beta分布是唯一选择。
拟合验证的技巧
别急着套公式，先画图。直方图能立刻告诉你数据的偏斜程度和异常情况，对数直方图对于长尾数据特别有用。
参数估计用最大似然或者矩估计都行，但是一定要用残差图和QQ图验证拟合效果。信息准则AIC/BIC比较不同分布的优劣，或者简单点用留出集的对数似然。
最重要的是模拟验证。用拟合好的分布生成数据，看看均值、方差、分位数是不是和原始数据对得上。如果对不上，说明这个分布选错了，哪怕拟合图看起来很漂亮也没用。
下面是通用代码模板
import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import stats
def fit_and_score(sample, candidate):
params = candidate.fit(sample) # generic MLE
ll = np.sum(candidate.logpdf(sample, *params))
k = len(params)
aic = 2*k - 2*ll
return params, aic
data = np.array([...], dtype=float)
cands = [stats.norm, stats.t, stats.lognorm, stats.gamma]
scores = [(c.name, *fit_and_score(data, c)) for c in cands]
best = min(scores, key=lambda r: r[-1]) # lowest AIC
一个真实案例：客服票据建模
之前做过的一个客服系统的分析，每小时票据数平均是2.1张，但方差居然有5.7。按泊松分布的理论，方差应该等于均值才对，这明显过度分散了。
后来换成负二项分布重新建模，预测误差直接降了18%。更重要的是，人力排班计划变得稳定多了，不会再因为周末突然来一波高峰把大家搞得措手不及。
所以有时候选对分布真的能解决实际问题。
总结
分布选择其实就是在讲故事，讲数据是怎么产生的。从最简单合理的故事开始，老老实实验证效果，只有数据真的需要的时候才考虑更复杂的模型。
这样做对你自己好，对业务方也好。没人喜欢过度复杂的东西，除非它真的有用。
https://avoid.overfit.cn/post/b3cfebcf3ab24660916834730cbd662d
