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💥1 概述
参考文献：
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摘要
在本文中，我们介绍了一个分析解，用于描述受端部力和弯矩作用的大挠度、有限应变和平面Reissner梁。该解是用雅可比椭圆函数表示的。所得到的分析解通过数值示例得到了增强。本文还详细讨论了梁在端部受轴向压缩载荷并受各种边界条件限制下的屈曲和屈曲后行为。特别是，针对所有边界条件推导出了屈曲系数。
在本文中，我们关注于描述最初直的、无重量、均匀各向同性和线性弹性梁受端载荷作用时的大挠度方程的分析解，该方程由Reissner（1972）提出。这些方程背后的理论增强了著名的Euler–Bernoulli大挠度梁理论，包括了拉伸和剪切应变，并且不仅限于线性本构行为。为方便起见，我们称通过这一扩展理论描述的梁为Reissner梁，尽管该理论的方程形式上与平面Cosserat梁理论（Antman，2005）的方程完全一致。
有关这一非常特定主题的现有文献相对较少。1950年Pflüger，1968年Stoker以及Magnusson和合著者（2001）提出了受轴向压缩力作用的简支伸展梁的椭圆积分解。Humer于2011年、2013年提供了Reissner梁的闭式椭圆积分解。在第一项研究中，作者将这一解应用于受集中力作用的梁的平衡问题，其中一端夹紧，另一端可自由滑动；在第二项工作中，研究了梁的屈曲和屈曲后行为问题。Goto及其同事（1990）发表了关于具有轴向和剪切变形的弹性梁的闭式解，使用了椭圆积分。但是，这些作者采用的基础理论是具有有限位移和有限应变的Timoshenko梁理论。与Humer的解只涉及第一类和第二类椭圆积分不同，他们的解还包括第三类椭圆积分。Stemple（1990）还提供了伸展梁的椭圆积分解；然而，他积分的方程是从他自己的梁理论导出的。
这个简要回顾表明，对于伸展和剪切变形梁的现有解是用椭圆积分表示的。椭圆积分解的一个缺点是它是隐式的；也就是说，在描述梁坐标的公式中，自变量是梁横截面的倾斜度，而不是梁弧长。
本研究的目的是提供Reissner梁的Jacobi椭圆函数解。这些函数相对于椭圆积分具有一些优势，因为它们适用于任何参数值，它们由简单的加法关系连接，并遵循简单的导数规则（Reinhardt和Walker，2010）。对于Euler–Bernoulli梁，一些作者已经证明了这样一个解（Batista，2014；Batista，2015a；Batista，2015b；Goss，2003；Levyakov，2001；Love，1944）。我们还讨论了解的几个应用，主要是作为其能力的指示。
在继续之前，我们注意到，由于我们仅考虑对Reissner方程的积分，我们忽略了一些重要主题的回顾。因此，对于梁的大挠度历史，除了上述的著作，我们建议读者参阅Antman的论文（Antman，1972），Gorski的综述论文（Gorski，1976）以及Goss的博士论文（Goss，2003）。对于非线性弹性梁解的定性处理，主要参考是Antman的著作（Antman，2005），对于数值处理，我们参考Saje（1991）和Batista和Kosel（2005）。详细文章见第4部分。
使用雅可比椭圆函数为Reissner平面有限应变梁提供封闭形式解研究
摘要
本文旨在探讨使用雅可比椭圆函数为Reissner平面有限应变梁提供封闭形式解的方法。Reissner梁理论增强了经典的Euler–Bernoulli大挠度梁理论，涵盖了拉伸和剪切应变，且不局限于线性本构行为。通过引入雅可比椭圆函数，我们能够为受端部力和弯矩作用的大挠度、有限应变和平面Reissner梁提供精确的封闭形式解，并通过数值示例验证其有效性。此外，本文还详细讨论了梁在端部受轴向压缩载荷并受各种边界条件限制下的屈曲和屈曲后行为，并推导了针对所有边界条件的屈曲系数。
引言
在材料力学和结构工程领域，梁的变形和应力分析是基础且重要的研究内容。传统的Euler–Bernoulli梁理论假设横截面在变形后仍保持平面且垂直于中性轴，忽略了剪切变形的影响。然而，对于厚梁或剪切变形显著的梁结构，这一假设不再适用。Reissner梁理论通过引入剪切变形和拉伸应变，扩展了Euler–Bernoulli梁理论，使其能够更准确地描述有限应变梁的力学行为。
尽管Reissner梁理论在理论上更为完善，但其控制方程通常更为复杂，难以获得解析解。近年来，雅可比椭圆函数因其独特的数学性质，在解决非线性微分方程和椭圆积分问题中展现出巨大潜力。本文将探讨如何利用雅可比椭圆函数为Reissner平面有限应变梁提供封闭形式解，并通过数值示例验证其有效性。
Reissner梁理论概述
Reissner梁理论由Reissner于1972年提出，该理论在Euler–Bernoulli梁理论的基础上，考虑了剪切变形和拉伸应变的影响。Reissner梁的控制方程包括平衡方程、几何方程和本构方程，这些方程共同描述了梁在受力作用下的变形和应力分布。
与Euler–Bernoulli梁理论相比，Reissner梁理论的控制方程更为复杂，但能够更准确地描述厚梁或剪切变形显著的梁结构的力学行为。特别是对于大挠度、有限应变问题，Reissner梁理论提供了更为精确的解。
雅可比椭圆函数简介
雅可比椭圆函数是一类特殊的数学函数，它们在理论物理和工程学的多个领域中都有广泛应用。雅可比椭圆函数具有简单的加法关系和导数规则，适用于任何参数值，这使得它们在解决非线性微分方程和椭圆积分问题中具有独特优势。
在力学领域，雅可比椭圆函数常用于描述周期性振动、波动和屈曲等问题。通过引入雅可比椭圆函数，我们可以将复杂的非线性微分方程转化为易于求解的代数方程，从而获得精确的封闭形式解。
使用雅可比椭圆函数求解Reissner梁问题
问题描述
考虑一个最初直的、无重量、均匀各向同性和线性弹性的Reissner梁，受端部力和弯矩作用。我们需要求解该梁在大挠度、有限应变条件下的变形和应力分布。
控制方程
Reissner梁的控制方程包括平衡方程、几何方程和本构方程。这些方程可以表示为：
- 平衡方程：描述梁在受力作用下的平衡状态。
- 几何方程：描述梁的变形与位移之间的关系。
- 本构方程：描述应力与应变之间的关系。
雅可比椭圆函数解
为了使用雅可比椭圆函数求解Reissner梁问题，我们需要将控制方程转化为适合雅可比椭圆函数的形式。这通常涉及对控制方程进行适当的变换和简化，以引入雅可比椭圆函数作为解的形式。
具体步骤如下：
- 变量替换：通过引入新的变量替换，将控制方程转化为更简单的形式。
- 引入雅可比椭圆函数：根据问题的性质，选择合适的雅可比椭圆函数作为解的形式。
- 求解代数方程：将雅可比椭圆函数代入简化后的控制方程，得到关于雅可比椭圆函数参数的代数方程。
- 确定参数：通过求解代数方程，确定雅可比椭圆函数的参数。
- 获得封闭形式解：将确定的参数代入雅可比椭圆函数，得到Reissner梁问题的封闭形式解。
数值示例
为了验证雅可比椭圆函数解的有效性，我们考虑一个具体的数值示例。假设一个Reissner梁在端部受到轴向压缩载荷和弯矩作用，我们使用雅可比椭圆函数解求解该梁的屈曲和屈曲后行为。
通过数值计算，我们获得了梁在不同载荷条件下的变形和应力分布。与有限元数值解相比，雅可比椭圆函数解在大多数情况下都能提供较为准确的结果，验证了其有效性。
屈曲和屈曲后行为分析
屈曲分析
屈曲是梁在受到压缩载荷作用时发生的一种失稳现象。对于Reissner梁，屈曲分析需要考虑剪切变形和拉伸应变的影响。通过引入雅可比椭圆函数解，我们可以推导出针对所有边界条件的屈曲系数，从而更准确地预测梁的屈曲载荷。
屈曲后行为分析
屈曲后行为是指梁在屈曲后继续承受载荷时的变形和应力分布。对于Reissner梁，屈曲后行为分析同样需要考虑剪切变形和拉伸应变的影响。通过雅可比椭圆函数解，我们可以获得梁在屈曲后的变形和应力分布，为工程设计和安全评估提供重要依据。
结论与展望
本文探讨了使用雅可比椭圆函数为Reissner平面有限应变梁提供封闭形式解的方法。通过引入雅可比椭圆函数，我们能够为受端部力和弯矩作用的大挠度、有限应变和平面Reissner梁提供精确的封闭形式解，并通过数值示例验证了其有效性。此外，本文还详细讨论了梁在端部受轴向压缩载荷并受各种边界条件限制下的屈曲和屈曲后行为，并推导了针对所有边界条件的屈曲系数。
未来研究可以进一步探讨雅可比椭圆函数在其他复杂力学问题中的应用，如非线性振动、波动和复合材料力学等。同时，结合数值方法和实验验证，可以进一步验证雅可比椭圆函数解的准确性和可靠性，为工程设计和安全评估提供更为精确的理论依据。
📚2 运行结果
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部分代码：
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lambda = cc.lambda; % slenderness
mu = cc.mu; % stiffness ratio
alpha = 45; % forcse direction angle in degrees
Fmax = 2; % max force
npts = 100;
nstp = 20; % skip shape
% create 2d object
aa=rod2d('-lambda',lambda,'-mu',mu,'-alphaD',alpha);
% plot bifurcation diagram, rod shape and phase diagram when end force is
% given
aa.F = 1;
aa.k = 0.99; % clear property !!!
cantBifurcationDiag(aa)
% add graph
graph(aa)
🎉3 参考文献
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