【图像压缩】在 MATLAB 中使用奇异值分解 （SVD） 进行图像压缩（Matlab代码实现）

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💥1 概述

在MATLAB中使用奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）进行图像压缩是一种常见的技术。这种方法利用SVD将原始图像矩阵分解为三个矩阵的乘积，然后通过保留较大的奇异值来近似重构原始图像，从而实现图像的压缩。 对于一幅图像，将其表示为一个矩阵，其中每个元素表示图像的像素值。 使用SVD将图像矩阵分解为三个矩阵的乘积，然后通过截断奇异值来近似重构原始图像。 保留较大的奇异值，减少较小的奇异值，从而减少存储空间并实现图像压缩。 压缩比例是指压缩后图像的大小与原始图像大小之间的比率。 可以根据应用需求和图像质量要求选择不同的压缩比例。

在MATLAB中使用奇异值分解（SVD）进行图像压缩的研究

摘要

奇异值分解（SVD）是一种强大的矩阵分解技术，在图像压缩中具有独特优势。通过将图像矩阵分解为三个矩阵的乘积，并保留较大的奇异值，可以实现图像数据的有效压缩。本文详细介绍了基于SVD的图像压缩算法的原理、步骤、MATLAB实现及实验结果分析。

1. 引言

图像压缩是图像处理中的关键技术，旨在减少图像文件的大小，便于存储和传输。图像压缩算法主要分为有损压缩和无损压缩两大类。有损压缩算法可以获得更高的压缩比，但会损失部分图像信息；无损压缩算法则可以保证图像信息不丢失，但压缩比相对较低。奇异值分解（SVD）作为一种有损压缩方法，通过保留图像矩阵的主要信息来实现压缩，具有压缩率高、图像质量好等优点。

2. SVD基本原理

奇异值分解（SVD）是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法。对于一个m×n的矩阵A，其SVD分解形式为：

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3. 基于SVD的图像压缩算法

基于SVD的图像压缩算法主要分为以下几个步骤：

1. 图像转换：将图像转换为灰度图像（如果是彩色图像）。
2. 矩阵表示：将灰度图像表示为一个矩阵A，其中每个元素代表图像中对应像素点的灰度值。
3. SVD分解：对矩阵A进行SVD分解，得到U、Σ和V三个矩阵。
4. 压缩Σ矩阵：保留Σ矩阵中的前k个奇异值，并将其余奇异值设置为0，得到压缩后的Σk矩阵。
5. 重建图像：根据压缩后的Σk矩阵以及矩阵U和V的前k列，重新构造图像矩阵Ak=UkΣkVkT。
6. 图像显示：将重建的图像矩阵Ak转换为图像并显示。

4. MATLAB实现

matlab

5. 实验结果与分析

1. 压缩比：通过调整保留的奇异值数量k，可以控制压缩比。k越小，压缩比越高，但图像质量也会下降。实验结果表明，当k取适当值时，可以在保证图像质量的同时获得较高的压缩比。
2. 图像质量：使用峰值信噪比（PSNR）来评估压缩后图像的质量。PSNR值越高，表示压缩后图像与原始图像的差异越小，图像质量越好。实验结果表明，随着k的增加，PSNR值也会增加，图像质量逐渐提高。
3. 可视化效果：通过对比原始图像和压缩后的图像，可以直观地看到压缩效果。当k较小时，压缩后的图像可能会出现模糊或失真现象；当k较大时，压缩后的图像与原始图像几乎无法区分。

6. 结论与展望

基于SVD的图像压缩算法是一种有效的图像有损压缩方法。该算法通过对图像矩阵进行SVD分解，并压缩Σ矩阵来实现图像压缩。实验结果表明，该算法具有压缩率高、图像质量好等优点。然而，该算法也存在计算量大的缺点，尤其是在处理大尺寸图像时。未来工作可以聚焦于以下方向：

• 优化SVD计算：通过并行计算或近似算法降低SVD分解的时间复杂度。
• 结合其他技术：将SVD与小波变换、分块处理等技术结合，进一步提升压缩效率。
• 自适应参数选择：根据图像内容动态调整保留的奇异值数量k，平衡压缩比与图像质量。

📚2 运行结果

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主函数部分代码：

% return error
    error(...
    'Incorrect input arg: compr must satisfy 0 <= compr <= number of Singular Values');
% Size of the image
m = size(Lena,1);
n = size(Lena,2);
storage = m*n;
fprintf('Size of image: %d px by %d px, i.e. uses %d px of storage.\n',m,n,storage);
% SVs and reduced storage
r = min([m,n]); % original number of SVs
r_red = length(indices); % to be saved number of SVs
r_max = floor(m*n/(m+n+1)); % maximum to be saved number of SVs for compression
storage_red = m*r_red + n*r_red + r_red;
if compr >= 0 && compr < 1
    % only SVs bigger than compr times biggest SV
    fprintf('The smallest SV chosen to be smaller than %d of the biggest SV.\n',compr);
elseif compr >= 1 && compr <= length(singvals)
    % only the biggest compr SVs
else
    % return error
    fprintf('There was some error before. Analysis cannot continue.\n')
end
fprintf('Out of %d SVs, only %d SVs saved ',r,r_red);
fprintf('(Maximum number of SVs for compression: %d SVs).\n',r_max);
fprintf('Reduced storage: %d px.\n',storage_red);
% Determine made error
error = 1 - sum(singvals(indices))/sum(singvals);
fprintf('Made error: %d.\n',error);
errorImage = Lena_org - Lena_red;
% Entropy

🎉3 参考文献

文章中一些内容引自网络，会注明出处或引用为参考文献，难免有未尽之处，如有不妥，请随时联系删除。

[1]朱路,邬雷,王定坤,等.基于零值域分解的深度图像压缩感知重建[J/OL].工程科学与技术:1-12[2024-06-06].http://kns.cnki.net/kcms/detail/51.1773.TB.20240604.1700.011.html.

[2]黄梅娟,王永梅.基于尺度特征融合的极低比特率三维复杂图像无损压缩[J/OL].海南热带海洋学院学报:1-9[2024-06-06].http资料获取，更多粉丝福利，MATLAB|Simulink|Python资源获取【请看主页然后私信】