3D 数学（1）-矩阵

矩阵是什么？

• 矩阵是一种描述线性变换的工具
• 线性变换
  • 定义：是一个从向量空间(V)到自身或另一个向量空间(W)的映射(T)
  • 解释：Va 空间中的点(xa, ya)转换到 Vb 空间中， 结果是(xb, yb)，过程就叫线性变换
  • 所用的转换工具——矩阵是
    $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$
    $\begin{bmatrix}A&M&0\\B&N&0\\C&D&1\end{bmatrix}$
    转换过程是：
    $\begin{bmatrix}xa&ya&1\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}A&M&0\\B&N&0\\C&D&1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}Axa+Bya+C&Mxa+Nya+D&1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}xb&yb&1\end{bmatrix}$
• 为什么是矩阵
  • 统一表示多种变换
    • 多种变换整合：通过矩阵运算规则，可将多个变换矩阵组合成一个复合矩阵，一次性完成多种变换（如：平移+缩放）
    • 便于操作与管理：使用矩阵表示变换，使不同类型变换在形式上统一，便于在程序中进行管理和操作
  • 易于实现复合变换
    • 矩阵乘法特性：如要对图形依次进行旋转 R、缩放S 和平移 T，可先将这些变换表示为矩阵 R、S、T，通过计算复合矩阵$M = T \times S \times R$ （注意顺序），然后用矩阵 M 作用于图形的顶点坐标，就能一步完成所有变换
  • 与线性代数理论紧密结合
    • 理论支持：计算机图形学基于线性代数理论，矩阵是线性代数的核心工具
    • 高效算法实现：线性代数为矩阵运算提供了丰富且成熟的算法，如矩阵求逆、行列式计算等
  • 硬件加速支持
    • 图形硬件优化：现代GPU对矩阵运算有专门优化
    • 提高渲染效率：将空间变换用矩阵表示，利用 GPU 硬件加速，可在短时间内处理大量图形数据，实现复杂场景的实时渲染

向量与矩阵，矩阵与矩阵的乘法

• 不满足交换率
  • $M_S = \begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix} M_T = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&2&1\end{bmatrix}$
  • $M_{ST} = \begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\2&2&1\end{bmatrix} M_{TS} = \begin{bmatrix}3&0&0\\0&3&0\\6&6&1\end{bmatrix}$
  • $\therefore M_{ST} \neq M_{TS}$

平移、缩放、旋转（三维空间）

• 平移矩阵
  $T = \begin{bmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
  变换计算过程为：
  $ \begin{bmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x+t_x\\y+t_y\\z+t_z\\1\end{bmatrix}$
• 缩放矩阵
  $S = \begin{bmatrix}s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
  变换计算过程为：
  $S = \begin{bmatrix}s_x&0&0&0\\0&s_y&0&0\\0&0&s_z&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}s_xx\\s_yy\\s_zz\\1\end{bmatrix}$
• 旋转（欧拉角）矩阵
  

单位矩阵、逆矩阵

• 单位矩阵：是一个方阵，即行数和列数相等。对于$n$ 阶单位矩阵，记为$I_n$ ，其主对角线（从左上角到右下角的对角线）上的元素都为1，其余元素均为0。如：
  • 性质：
    • 乘法特性：单位矩阵在矩阵乘法中类似于实数乘法中的数字。
    • 可逆性：单位矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵就是它本身
• 逆矩阵：若存在矩阵$B$ ，使得$AB=BA=I$ ，则$A$ 可逆，$B$ 为$A$ 的逆矩阵
  • 作用： 撤销变换：
    假设原始向量$v$ ，变换矩阵为$A$ ，经过变换后得到向量$v'$ ，关系为 $v' = Av$
    若要从$v'$ 恢复到原始向量$v$ ，在等式两边同时左乘$A$ 的逆矩阵$A^{-1}$ 即可：
    $A^{-1}v' = A^{-1}(Av) = (A^{-1}A)v = Iv = v$
    即：$A^{-1}v' = v$