2024 “华为杯”第二十一届中国研究生数学建模竞赛 选题分析

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A题：风电场有功功率优化分配

这个题是关于风电场有功功率优化分配的数学建模问题，涉及概率论与统计学理论。适合电气工程、机械工程、能源功能、计算机、自动化、数据科学、物理、工业工程、环境科学等专业的同学。需要处理随机数据和估计不确定性，构建和求解优化问题，包括实时优化和大规模优化。涵盖的知识点有物理知识，理解和应用物理原理，如力学和能量守恒；优化理论，理解和应用优化算法，包括线性规划、非线性规划等；随机过程，理解和应用随机过程理论，处理不确定性问题。需要的工具可以是Python、MATLAB，用于数据处理和模型实现，一般使用MATLAB的Optimization Toolbox用于求解优化问题。其他数据分析工具，如R、Python的Pandas库，用于数据预处理和分析。具体可以分为以下几个子问题：

1. 问题一：风机主轴及塔架疲劳损伤程度量化指标计算模。需要处理和分析随机性强的数据，并建立一个能够实时计算的模型。需要建立一个低复杂度的模型，以实时计算风机主轴和塔架的累积疲劳损伤程度。这个问题涉及到数据的处理和分析，以及疲劳损伤理论的应用。
2. 问题二：利用风速及功率估算塔架推力和主轴扭矩。需要理解和应用物理原理来建立估算模型。需要建立一个模型，根据风速和功率估算风机所承受的应力或扭矩。这个问题涉及到物理原理的应用，如受力分析和能量守恒。
3. 问题三：有功调度优化问题构建与实时求解。涉及到大规模优化问题，需要考虑模型的复杂度和实时性。需要构建一个优化模型，以优化风电场的有功功率分配，降低运维成本。这个问题涉及到优化理论，特别是实时优化和大规模优化问题。
4. 问题四：考虑通信延迟和测量噪声的有功功率优化与求解。需要在优化模型中考虑实际工程中的不确定性因素，如噪声和延迟。在优化模型中考虑实际工程中的通信延迟和测量噪声，提高模型的鲁棒性。这个问题涉及到随机过程和鲁棒控制理论。

B题：WLAN组网中网络吞吐量建模

这个题是关于无线局域网（WLAN）的网络吞吐量建模的实际应用问题，属于预测建模、优化、机器学习、统计分析问题。适合计算机、电子工程、信息工程、通信工程、数据科学与大数据技术、统计学、应用数学、网络工程、软件工程、自动化、机械电子工程、人工智能、机器学习、运筹学与控制论等专业的同学。涉及到无线通信网络的性能优化，是一个典型的跨学科问题，结合了计算机网络、信号处理、统计学和运筹学等多个领域的知识。问题需要对WLAN的物理层和MAC层的工作机制有深入理解，包括信道接入机制、信号检测门限、自适应调制编码等。需要处理和分析大量的实测数据，包括网络拓扑、流量类型、信号强度等多维度数据。此外还需要构建能够准确预测网络吞吐量的数学模型，这涉及到复杂的系统动态和非线性因素的处理。可能需要使用高级的算法来处理数据和优化模型，如机器学习、优化算法等。机器学习必须涉及到Python编程，其中就包括机器学习库：如Python的scikit-learn、TensorFlow或PyTorch，用于构建和训练预测模型。此外还要会使用仿真软件，如NS3、OPNET等，用于模拟WLAN网络行为。

1. 问题1：分析AP发送机会并预测发送时长。此问题要求参赛者分析影响无线接入点（AP）获取发送机会的因素，并预测每个AP发送数据帧序列的总时长。这涉及到理解WLAN网络的拓扑结构、节点间信号强度（RSSI）、信道接入机制、CCA门限、NAV机制等因素如何影响AP的数据发送行为。首先需要识别哪些参数对AP的发送机会有显著影响，例如RSSI、信道竞争窗口大小、信道状态等。基于上述参数，构建预测模型。可能需要使用统计方法或机器学习算法来分析数据集中的模式。利用训练集数据训练模型，并对测试集中的数据进行预测。

2. 问题2：建模预测AP发送数据选用的（MCS, NSS）。在WLAN中，数据传输速率（PHY Rate）由调制编码方案（MCS）和空间流数（NSS）决定。此问题要求参赛者基于实测数据，特别是节点间RSSI信息和门限信息，对AP在测试中选用最多次数的（MCS, NSS）进行建模和预测。需要深入理解不同MCS和NSS对传输速率和信号质量的影响。分析RSSI、SINR等参数如何影响MCS和NSS的选择。开发一个能够根据输入参数预测最常用（MCS, NSS）的模型，可能涉及到分类算法或回归算法。

3. 问题3：系统吞吐量建模和预测。系统吞吐量是指单位时间内成功传输的数据量。此问题要求参赛者综合考虑前两个问题的结果，对整个WLAN系统的吞吐量进行建模和预测。将问题1中的发送时长和问题2中的（MCS, NSS）选择结果整合，作为影响吞吐量的关键因素。分析其他可能影响吞吐量的因素，如网络拓扑、信道条件、流量类型等。构建一个综合模型来预测系统吞吐量，并使用优化算法提高预测精度。

C题：数据驱动下磁性元件的磁芯损耗建模

这个赛题属于数据驱动的多变量的非线性回归和优化问题数学问题。属于机器学习的问题，需要对提供的数据集进行深入理解数据的结构、分布特性以及潜在的数据质量问题，这需要较强的数据理解能力和预处理技能。适合电气工程、机械工程、材料科学、应用数学、计算机科学、数据科学、物理、自动化、电子信息工程、能源工程、系统工程等专业的同学。需要从原始数据中提取出反映磁通密度分布及波形形状的特征变量，这涉及到信号处理和特征选择的技巧。需要构建能够准确预测磁芯损耗的模型，并且对模型进行验证和优化，这需要熟练掌握统计学和机器学习算法。最后需要构建优化模型来寻找最佳的磁芯损耗和传输磁能的条件，这涉及到运筹学和优化算法。数据分析工具常用Python（Pandas, NumPy。机器学习库，如scikit-learn、TensorFlow、PyTorch等。还有可能需要统计分析软件，如SPSS、Stata等，用于进行统计检验。

1. 问题一：励磁波形分类。这个问题要求参赛者识别和分类磁通密度数据中的励磁波形。励磁波形对磁芯损耗特性有显著影响，因此准确识别波形对于优化磁芯设计至关重要。首先需要从磁通密度数据中提取能反映波形特征的变量。然后使用这些特征来构建一个分类模型，如支持向量机（SVM）、随机森林或神经网络。使用交叉验证等方法来评估模型的准确性和泛化能力。将模型应用于测试数据集，并统计不同波形的数量。

2. 问题二：斯坦麦茨方程（Steinmetz-equation）修正。这个问题要求参赛者基于传统的斯坦麦茨方程，构建一个修正模型，以适应不同温度下的磁芯损耗预测。首先需要深入理解斯坦麦茨方程及其局限性。分析不同温度下磁芯损耗数据，寻找温度对损耗的影响规律。在斯坦麦茨方程的基础上引入温度因素，构建修正模型。比较修正模型与原模型在预测磁芯损耗上的效果。

3. 问题三：磁芯损耗因素分析。这个问题要求参赛者分析温度、励磁波形和磁芯材料这三个因素如何独立及协同影响磁芯损耗，并探索最低损耗的最优条件。使用多元回归分析或多元方差分析（MANOVA）来评估各个因素对磁芯损耗的影响。研究不同因素之间的交互作用对磁芯损耗的影响。通过分析结果，确定在哪些条件下可以实现最低的磁芯损耗。

4. 问题四：基于数据驱动的磁芯损耗预测模型。这个问题要求参赛者利用提供的数据构建一个高精度的磁芯损耗预测模型，并预测测试数据集中的磁芯损耗。选择合适的机器学习算法来构建预测模型。可能需要进一步的特征工程来提高模型的预测精度。使用训练数据集来训练模型，并通过验证集来评估模型的性能。将训练好的模型应用于测试数据集，预测磁芯损耗。
5. 问题五：磁性元件的最优化条件。这个问题要求参赛者在考虑磁芯损耗和传输磁能两个评价指标的基础上，建立优化模型，寻找最佳的磁性元件设计条件。定义一个目标函数，可能包括最小化磁芯损耗和最大化传输磁能。确定优化问题中的约束条件，如温度、频率、波形、磁通密度峰值及磁芯材料。选择合适的优化算法，如遗传算法、粒子群优化（PSO）等，来求解优化问题。最后分析优化结果，确定在哪些条件下可以达到最优的磁性元件性能。

D题：大数据驱动的地理综合问题

这个题涉及地理环境的多个变量，包括大气中二氧化碳浓度、全球年平均气温、降水量、土地利用/土地覆被类型等，并要求建立数学模型来描述和预测相关地理现象。适合地理信息系统、环境科学、气象学、生态学、统计学、数学、计算机科学、城市规划、地质学、遥感科学等专业的同学。数据集总大小达到6.24GB，处理和分析这些数据需要较强的数据处理能力。属于统计分析、时间序列分析、空间数据分析、时间序列建模问题。需要对多个地理环境变量进行分析，这些变量之间可能存在复杂的相互关系。题目要求分析变量在1990~2020年间的时空演化特征，这涉及到时间序列分析和空间分析。需要建立数学模型来描述地形-气候相互作用在极端天气形成过程中的作用，这是一个高度非线性和复杂的系统。需要的软件，编程语言Python或R，用于数据处理和模型构建。地理信息系统（GIS）软件如ArcGIS、QGIS等，用于处理和分析地理空间数据。统计软件，如SPSS、Stata等，用于进行统计分析。甚至有可能需要大数据处理工具：如Hadoop、Spark等，用于处理大规模数据集。

1. 问题1：描述性统计方法。需要从提供的大数据集中筛选出与问题相关的数据。选择合适的描述性统计方法，如平均值、标准差、趋势分析、箱线图等。设计直观的图表来展示数据的时空分布和变化趋势。

2. 问题2：极端天气事件建模。建立数学模型，说明地形-气候相互作用在极端天气形成过程中的作用，特别是暴雨等极端天气事件。需要构建一个能够反映地形和气候因素相互作用的数学模型。利用提供的降雨、地形和土地利用数据来验证和调整模型。模型结果需要能够解释极端天气事件的形成机制。

3. 问题3：暴雨成灾的临界条件预测。考虑降雨、地形和土地利用等因素的角色及其交互作用，确定暴雨成灾的临界条件，并预测2025~2035年间中国境内应对暴雨灾害能力最为脆弱的地区。分析暴雨成灾的关键因素和条件。构建预测模型，预测未来暴雨灾害的高风险区域。以地图形式展示预测结果，需要具备地理信息系统（GIS）的相关知识。
4. 问题4：土地利用变化的特征与结构描述。利用地理大数据，建立数学模型，对数据进行简化和综合，描述中国土地利用变化的特征与结构，并从准确性和有用性两个方面解释验证总结。处理和分析大量的土地利用数据，提取关键特征。构建数学模型来描述土地利用的变化趋势和结构。验证模型的准确性和实用性，并提供合理的解释。

E题：高速公路应急车道紧急启用模型

这个题目属于视频数据处理、预测和优化问题。解决高速公路拥堵问题，特别是特定路段的拥堵现象，以及如何通过合理使用应急车道来缓解拥堵。适合交通工程、数学与应用数学、统计学、计算机科学与技术、数据科学与大数据技术、自动化、信息工程、系统工程、运筹学与控制论、人工智能、软件工程、管理科学与工程、经济学、城市规划等专业的同学。需要建立数学模型来预测特定路段可能发生的拥堵，并评估在没有交通事故的情况下临时启用应急车道对缓解拥堵的效果。题目提供了高速公路某段四个点位的交通监控视频数据，要求参赛者基于这些数据进行分析和建模。需要从视频监控数据中提取交通流参数，如车流密度、流量、速度等，这涉及到视频数据处理和特征提取，难度较高。需要构建交通流拥堵模型，这涉及到非线性动态系统建模，可能需要使用到复杂的数学工具和算法。视频数据的处理工具一般是Python，并且使用机器学习方法进行预测。可能会用到MATLAB、Simulink等，用于构建和模拟交通流模型。

1. 问题1：
   （1）第一小问。统计四个观测点的交通流参数随时间的变化规律。分析和统计四个视频观测点收集的交通流数据，包括车流密度、流量、速度等参数，并找出这些参数随时间变化的规律。首先需要对视频数据进行预处理，提取交通流参数。使用统计学方法分析数据，找出参数随时间的变化趋势。通过图表等形式直观展示数据变化规律，便于理解。
   （2）第二小问。建立交通流拥堵模型。建立一个模型，能够根据四个观测点的交通流参数预测从第三点到第四点之间路段可能发生的持续拥堵状态，并给出实时预警。首先需要构建一个能够描述交通流动态变化的数学模型。根据观测数据估计模型参数。设计一个机制，能够在拥堵发生前给出预警。使用数据验证模型的准确性和可靠性。
   （3）第三小问。利用视频数据验证所建模型的有效性。使用提供的视频数据来验证前面建立的交通流拥堵模型的有效性。首先将数据分为训练集和测试集。使用训练集数据训练模型。使用测试集数据测试模型的预测能力。评估模型的预测准确性和实用性。
2. 问题2：设计合理规则或算法，实时决策是否启用应急车道。设计一套规则或算法，根据实时交通流数据决定是否启用应急车道。首先制定基于交通流参数的决策规则。设计算法实现实时决策。考虑成本和效益，优化决策规则。
3. 问题3：如何布置视频监控点。提出视频监控点的布置方案，以提升决策的科学性并控制成本。首先分析交通流特性，确定监控点的最佳位置。在保证监控效果的前提下，考虑成本因素。评估监控点布局的科学性和有效性。

F题：X射线脉冲星光子到达时间建模

这个题属于天体物理学和航天工程领域内的数学建模问题，需要综合运用多个领域的知识，包括天体物理、轨道力学、相对论、信号处理等。适合天体物理学、航天工程、轨道力学、应用数学、计算数学、统计学、物理学、信号处理、数据分析、计算机科学、电子工程、自动化控制、导航与定位技术等专业的同学。首先需要建立卫星轨道根数与其位置和速度关系的数学模型，这属于经典的轨道力学问题。考虑Shapiro时延、引力红移时延和动钟变慢效应，这些都是广义相对论和狭义相对论中的概念。对X射线脉冲星的信号进行建模和仿真，需要处理信号的周期性和噪声，这涉及到信号处理和统计学。需要对观测数据进行分析，提取有效信息，这涉及到数据分析和数据挖掘技术。在建立模型和仿真过程中，需要进行大量的数值计算。需要专业软件如TEMPO2（用于脉冲星计时分析）。

1. 问题1：卫星轨道根数与其位置和速度关系的数学模型。建立一个数学模型，描述卫星的轨道根数（偏心率、角动量、轨道倾角等）与其在地心天球参考系（GCRS）中的三维位置和速度之间的关系。需要应用轨道力学的原理，特别是开普勒定律和牛顿运动定律。需要对轨道参数进行数值解析，可能涉及到非线性方程组的求解。验证模型的一致性和准确性，可能需要使用已知的轨道数据进行比较。

2. 问题2：真空几何传播时延模。建立一个模型来计算脉冲星光子到达卫星与太阳系质心之间的真空几何传播时延。考虑光速在真空中的传播特性。计算卫星和太阳系质心之间的相对位置，以及光子在两点间的传播时间。最后处理时间尺度的转换，如从TT（地球时）转换到其他时间尺度。

3. 问题3：精确转换时延模型。考虑脉冲星自行以及几何传播时延、Shapiro时延、引力红移时延和动钟变慢效应等因素的情况下，建立一个精确的转换时延模型。应用广义相对论和狭义相对论的原理。需要处理复杂的物理效应，如引力场对光子路径的影响。需要高精度的数值计算，以确保模型的准确性。

4. 问题4：X射线脉冲星光子序列模型。建立一个模型来仿真Crab脉冲星光子序列，并利用仿真数据折叠出脉冲轮廓。需要应用信号处理和统计学的原理。然后模拟脉冲星的辐射特性，包括脉冲星的流量和背景噪声。最后提出提高仿真精度的方法，以更好地展现脉冲星的辐射特性。