CasADi - 最优控制开源 Python/MATLAB 库3:https://developer.aliyun.com/article/1584026
6.3. 导入外部函数
CasADi 外部函数的基本用法已在第 5.2 节的自动生成代码中进行了演示。同样的函数也可用于导入用户定义的函数，只要该函数也使用第 5.3 节所述的 C API。
下文将对此进行进一步阐述。
6.3.1. 默认函数
通常无需定义第 5.3 节中定义的所有函数。如果没有定义 fname_incref 和 fname_decref，则假定不需要内存管理。如果没有提供输入和输出的名称，它们将被赋予默认名称。一般情况下，稀疏性模式默认为标量模式，除非函数对应于另一个函数的导数（见下文），在这种情况下，稀疏性模式默认为密集模式且维度正确。
此外，如果没有实现 fname_work，则假定不需要工作矢量。
6.3.2. 作为注释的元信息
如果您依赖于 CasADi 的即时编译器，您可以在 C 代码中以注释的形式提供元信息，而不是实现实际的回调函数。
元信息的结构如下：
/*CASADIMETA :fname_N_IN 1 :fname_N_OUT 2 :fname_NAME_IN[0] x :fname_NAME_OUT[0] r :fname_NAME_OUT[1] s :fname_SPARSITY_IN[0] 2 1 0 2 */
6.3.3. 导数
外部函数可以通过提供导数计算函数来实现微分。在导数计算过程中，CasADi 将在同一文件/共享库中寻找符合特定命名规则的符号。例如，您可以通过执行名为 jac_fname 的函数，为名为 fname 的函数指定相对于所有输入的所有输出的雅各比。同样，您可以通过提供名为 fwd1_fname 的函数来指定计算一个正向导数的函数，其中 1 可以用 2、4、8、16、32 或 64 代替，以便一次计算多个正向导数。对于反向模式方向导数，可将 fwd 替换为 adj。
这是一项试验性功能。
6.4. 即时编译 C 语言字符串
在上一节中，我们介绍了如何指定一个包含数值计算函数和元信息的 C 语言文件。如前所述，CasADi 与 Clang 的接口可以对该文件进行即时编译。用户只需将源代码指定为一个 C 语言字符串即可。
body =\ 'r[0] = x[0];'+\ 'while (r[0]<s[0]) {'+\ ' r[0] *= r[0];'+\ '}' f = Function.jit('f',body,\ ['x','s'],['r'],\ {"compiler":"shell"}) print(f) f:(x,s)->(r) JitFunction
Function.jit 的这四个参数是必须的： 函数名称、字符串形式的 C 代码以及输入和输出名称。在 C 代码中，输入/输出名称对应于 casadi_real_t 类型的数组，其中包含函数输入和输出的非零元素。默认情况下，所有输入和输出都是标量（即 1-by-1 且密集）。要指定不同的稀疏性模式，请提供两个额外的函数参数，其中包含稀疏性模式的向量/列表：
sp = Sparsity.scalar() f = Function.jit('f',body,\ ['x','s'], ['r'],\ [sp,sp], [sp],\ {"compiler":"shell"}) print(f) f:(x,s)->(r) JitFunction
两种变体都接受以选项字典形式出现的第 5 个（或第 7 个）可选参数。
6.5. 使用查找表
可以使用 CasADi 的插值函数创建查找表。不同的插值方案以插件形式实现，类似于 nlpsol 或 integrator 对象。除了标识符名称和插件外，插值函数还需要一组网格点和相应的数值。
内插函数调用的结果是一个可微分的 CasADi 函数对象，可以通过调用 MX 参数嵌入到 CasADi 计算图形中。此外，此类图形完全支持 C 代码生成。
目前，插值法有两个插件： 线性 "和 “bspline”。它们的作用类似于 MATLAB/Octave 的插值，方法设置为 "线性 "或 “样条”–对应于多线性插值和非结边界条件下的样条插值（默认为立方）。
在使用 bspline 的情况下，将在构建时寻找符合所提供数据的系数。或者，您也可以使用更低级的 Function.bspline 来自行提供系数。默认情况下，bspline 的每个维度的阶数都是 3。您可以通过阶数选项偏离默认值。
我们将介绍一维和二维版本的插值法语法，但实际上该语法可用于任意维数。
6.5.1. 一维查找表
与 SciPy 中的相应方法相比，CasADi/Python 中的一维样条曲线拟合方法如下：
import casadi as ca import numpy as np xgrid = np.linspace(1,6,6) V = [-1,-1,-2,-3,0,2] lut = ca.interpolant('LUT','bspline',[xgrid],V) print(lut(2.5)) # Using SciPy import scipy.interpolate as ip interp = ip.InterpolatedUnivariateSpline(xgrid, V) print(interp(2.5)) -1.35 -1.3500000000000005
在 MATLAB/Octave 中，相应的代码为
xgrid = 1:6; V = [-1 -1 -2 -3 0 2]; lut = casadi.interpolant('LUT','bspline',{xgrid},V); lut(2.5) % Using MATLAB/Octave builtin interp1(xgrid,V,2.5,'spline') ans = -1.35 ans = -1.3500
请特别注意，内插法的网格和数值参数必须是数值参数。
6.5.2. 二维查找表
在 Python 中，我们可以得到以下二维查找表，也可以与 SciPy 进行比较，以供参考：
xgrid = np.linspace(-5,5,11) ygrid = np.linspace(-4,4,9) X,Y = np.meshgrid(xgrid,ygrid,indexing='ij') R = np.sqrt(5*X**2 + Y**2)+ 1 data = np.sin(R)/R data_flat = data.ravel(order='F') lut = ca.interpolant('name','bspline',[xgrid,ygrid],data_flat) print(lut([0.5,1])) # Using Scipy interp = ip.RectBivariateSpline(xgrid, ygrid, data) print(interp.ev(0.5,1)) 0.245507 0.24550661674668917
或在 MATLAB/Octave 中与内置函数进行比较：
xgrid = -5:1:5; ygrid = -4:1:4; [X,Y] = ndgrid(xgrid, ygrid); R = sqrt(5*X.^2 + Y.^2)+ 1; V = sin(R)./R; lut = interpolant('LUT','bspline',{xgrid, ygrid},V(:)); lut([0.5 1]) % Using Matlab builtin interpn(X,Y,V,0.5,1,'spline') ans = 0.245507 ans = 0.2455
特别要注意的是，values 参数必须扁平化为一维数组。
6.6. 使用有限差分进行衍生计算
CasADi 3.3 为所有函数对象引入了有限差分计算支持，特别是包括第 6.2 节、第 6.3 节或第 6.4 节中定义的外部函数（对于第 6.5 节中的查找表，可使用解析导数）。
除 Function.jit 外，有限差分导数默认为禁用，要启用有限差分导数，必须将 "enable_fd "选项设置为 True/true：
f = external('f', './gen.so',\ dict(enable_fd=True)) e = jacobian(f(x),x) D = Function('d',[x],[e]) print(D(0)) 1
参见第 5.1 节。
如果没有分析导数，"enable_fd "选项可以让 CasADi 使用有限差分。要强制 CasADi 使用有限差分，可以将 “enable_fd”、"enable_reverse "和 "enable_jacobian "设置为 “假”/“假”，分别对应于 CasADi 所使用的三种分析导数信息。
默认方法是中心差法，步长由函数的舍入误差和截断误差估算值决定。您可以通过将 "fd_method "选项设置为 “forward”（对应一阶正向差分）、“backward”（对应一阶反向差分）和 “smoothing”（二阶精确非连续性避免方案）来更改方法，适用于需要计算域边缘导数的情况。通过设置 "fd_options "选项，可以获得有限差分的其他算法选项。
七、 DaeBuilder 类
CasADi 中的 DaeBuilder 类是一个辅助类，旨在方便复杂动力系统的建模，以便日后与最优控制算法配合使用。该类的抽象层级低于物理建模语言，如 Modelica（参见第 7.2 节），但仍高于直接使用 CasADi 符号表达式的层级。特别是，它可以用来连接以功能模拟接口（FMI）格式提供的物理模型，也可以用作构建特定领域建模环境的构件。
DaeBuilder 原则上有三种不同的使用方法：
可以使用该类逐步构建微分代数方程（DAE）结构系统，然后将其用于连接 CasADi 中的仿真或优化。该类还支持以 FMI 格式导出模型，以便在其他工具中使用。
还可以使用该类导入 FMI 格式的现有模型。从 CasADi 3.6 开始，我们支持导入标准 FMU，其中的模型方程只能通过调用 DLL 来获得。FMU 导入支持已针对具有挑战性的 FMU 进行了测试，但截至本文撰写时仍在开发中。
我们可以使用该类以 XML 符号格式导入现有模型。JModelica.org 工具支持这种格式，OpenModelica 也试验性地支持这种格式。由于生成这种格式的模型的工具有限，因此这种格式没有得到积极的开发。
7.1. 构建 DaeBuilder 实例
下面是一个简单的 DAE，它对应于一个受二次空气摩擦项和重力作用的可控火箭，火箭在耗尽燃料后质量会逐渐减小：
其中，三种状态分别对应高度、速度和质量。
是火箭的推力，（a、 b ) 为参数。
要构建该问题的 DAE 公式，请从一个空的 DaeBuilder 实例开始，按如下步骤逐步添加输入和输出表达式。
dae = DaeBuilder('rocket') # Add input expressions a = dae.add_p('a') b = dae.add_p('b') u = dae.add_u('u') h = dae.add_x('h') v = dae.add_x('v') m = dae.add_x('m') # Add output expressions hdot = v vdot = (u-a*v**2)/m-g mdot = -b*u**2 dae.set_ode('h', hdot) dae.set_ode('v', vdot) dae.set_ode('m', mdot) # Specify initial conditions dae.set_start('h', 0) dae.set_start('v', 0) dae.set_start('m', 1) # Add meta information dae.set_unit('h','m') dae.set_unit('v','m/s') dae.set_unit('m','kg')
其他输入和输出表达式也可以类似方式添加。有关函数的完整列表，请参见 DaeBuilder 的 C++ API 文档。
7.2. 从 Modelica 符号导入 OCP*
注：Modelon 不再提供 JModelica.org。但其闭源后继代码 OCT 保留了 CasADi 的互操作性。关于如何使用 OCT 生成 CasADi 表达式的详细信息，请参阅 OCT 的用户指南。以下文字指的是传统的 Modelica 互操作性支持。
7.2.1. 从 XML 文件的传统符号导入
除了直接在 CasADi 中建模（如上所述），还有一种方法是使用高级物理建模语言（如 Modelica）来指定模型。为此，CasADi 提供了与开源 JModelica.org 编译器的互操作性，该编译器是专门为优化控制而编写的。从 JModelica.org 导入模型有两种不同的方式：使用 JModelica.org 的 CasadiInterface 或通过 DaeBuilder 的 parse_fmi 命令。
我们推荐使用前一种方法，因为它正在得到积极维护，有关如何提取 CasADi 表达式的详细信息，请参阅 JModelica.org 的用户指南。
下面，我们将概述使用 parse_fmi 的传统方法。
7.2.2. 从传统方法导入 modelDescription.xml 文件¶。
要了解如何使用 Modelica 导入，请查看 CasADi 示例集中的 thermodynamics_example.py。
假设 Modelica/Optimica 模型 ModelicaClass.ModelicaModel 定义在 file1.mo 和 file2.mop 文件中，Python 编译命令为
from pymodelica import compile_jmu jmu_name=compile_jmu('ModelicaClass.ModelicaModel', \ ['file1.mo','file2.mop'],'auto','ipopt',\ {'generate_xml_equations':True, 'generate_fmi_me_xml':False})
这将生成一个 jmu 文件，实质上是一个压缩文件，其中包含 modelDescription.xml 文件。该 XML 文件包含最优控制问题的符号表示，可在标准 XML 编辑器中查看。
from zipfile import ZipFile sfile = ZipFile(jmu_name','r') mfile = sfile.extract('modelDescription.xml','.')
一旦有了 modelDescription.xml 文件，就可以使用 parse_fmi 命令将其导入：
ocp = DaeBuilder() ocp.parse_fmi('modelDescription.xml')
7.3. 函数工厂
一旦一个 DaeBuilder 被提出，并可能被重新表述为一个令人满意的形式，我们就可以生成与 sec-daebuilder_io 中列出的输入和输出表达式相对应的 CasADi 函数。例如，要为第 7.1 节中的火箭模型的 ODE 右侧创建一个函数，只需提供所创建函数的显示名称、输入表达式列表和输出表达式列表：
f = dae.create('f',\ ['x','u','p'],['ode'])
利用命名规则，我们还可以创建雅各布函数，例如 "ode "输出相对于 "x "的雅各布函数：
f = dae.create('f',\ ['x','u','p'],\ ['jac_ode_x'])
首先使用 add_lc 创建输出表达式的命名线性组合，然后请求其 Hessian，即可提取具有二阶信息的函数：
dae.add_lc('gamma',['ode']) hes = dae.create('hes',\ ['x','u','p','lam_ode'],\ ['hes_gamma_x_x'])
也可以简单地从 DaeBuilder 实例中提取符号表达式，然后手动创建 CasADi 函数。例如，dae.x 包含与 "x "相对应的所有表达式，dae.ode 包含与 "ode "相对应的表达式，等等。
脚注
[1]
FMI 开发小组。Functional Mock-up Interface for Model Exchange and Co-Simulation. https://www.fmi-standard.org/, July 2014. 规范，FMI 2.0。第 3.1 节，第 71-72 页。
八、使用 CasADi 进行优化控制
CasADi 可用于使用多种方法解决最优控制问题（OCP），包括直接（又称离散化-优化）和间接（又称优化-离散化）方法、一次求解（如搭配）方法以及需要嵌入 ODE 或 DAE 初值求解器的射击方法。作为用户，通常需要编写自己的 OCP 求解器，而 CasADi 的目标是通过提供功能强大的高级构建模块，尽可能简化这一过程。由于是自己编写求解器（而不是调用现有的 "黑盒 "求解器），因此对如何求解 OCP 的基本了解是必不可少的。Biegler [1] 或 Betts 最近出版的教科书对数值最优控制做了很好的、自成一体的介绍。
[1] 或 Betts
[2] 或 Moritz Diehl 的数值最优控制讲义。
8.1. 一个简单的测试问题
为了说明某些方法，我们将考虑以下测试问题，即驱动一个范德尔波尔振荡器到原点，同时试图最小化二次费用：
8.1.1. 直接单射法
在直接单次射击法中，控制轨迹使用某种片断平滑近似值（通常是片断常数）进行参数化。
使用控制的显式表达，我们就可以从优化问题中消除整个状态轨迹，最终只对离散化的控制进行 NLP。
在 CasADi 的示例集中，您可以找到分别用于 Python 和 MATLAB/Octave 的 direct_single_shooting.py 和 direct_single_shooting.m 代码。这些代码实现了直接单次射击法，并使用 IPOPT 进行求解，依靠 CasADi 计算导数。为了从连续时间动力学获得离散时间动力学，使用 CasADi 符号实现了一个简单的固定步 Runge-Kutta 4 (RK4) 积分器。类似这样的简单积分器代码在优化控制中通常很有用，但必须注意准确解决初值问题。
该代码还展示了如何用一种更先进的积分器（即 SUNDIALS 软件包中的 CVODES 积分器）取代 RK4 方案，后者实现了一种可变步长、可变阶次的后向微分公式 (BDF) 方案。这种高级积分器适用于较大系统、具有刚性动力学的系统、DAEs 以及检查较简单方案的一致性。
8.1.2. 直接多重射击
在 CasADi 示例集中的 direct_multiple_shooting.py 和 direct_multiple_shooting.m 代码实现了直接多重射击法。这种方法与直接单次射击法非常相似，但将某些射击节点的状态作为 NLP 中的决策变量，并包含相等约束以确保轨迹的连续性。
由于将问题 "提升 "到一个更高的维度通常会提高收敛性，因此直接多重射击法通常优于直接单次射击法。用户还可以使用已知的状态轨迹猜测进行初始化。
缺点是所求解的 NLP 会变得更大，不过这通常会被更稀疏的事实所弥补。
8.1.3. 直接定位
最后，direct_collocation.py 和 direct_collocation.m 代码实现了直接搭配法。在这种情况下，整个状态轨迹的参数化（如片断低阶多项式）将作为 NLP 的决策变量。这样就完全不需要离散时间动力学公式了。
直接配准的 NLP 比直接多重射击的 NLP 更大，但也更稀疏。
脚注
[1]
Lorenz T. Biegler, Nonlinear Programming： Concepts, Algorithms, and Applications to Chemical Processes , SIAM 2010
[2]
John T. Betts, Practical Methods for Optimal Control Using Nonlinear Programming , SIAM 2001
[3]
您可以在 CasADi 的下载区以名为 examples_pack.zip 的压缩包形式获取此合集。
九、Opti 栈
Opti 栈是一组 CasADi 辅助类，提供了数学 NLP 符号之间的紧密对应关系，例如
opti = casadi.Opti() x = opti.variable() y = opti.variable() opti.minimize( (y-x**2)**2 ) opti.subject_to( x**2+y**2==1 ) opti.subject_to( x+y>=1 ) opti.solver('ipopt') sol = opti.solve() print(sol.value(x)) print(sol.value(y)) 0.7861513776531158 0.6180339888825889
Opti 栈的主要特点是
允许约束的自然语法。
隐藏决策变量的索引/簿记。
数字数据类型与宿主语言之间的映射更紧密：不会与 DM 发生冲突。
默认情况下，Opti 将假定程序为非线性程序。要求解二次方程式程序，请将字符串 "conic "作为 Opti 构造函数的参数。
9.1. 问题说明
变量 声明任意数量的决策变量：
x = opti.variable(): 标量
x = opti.variable(5)：列向量
x = opti.variable(5,3)：矩阵
x = opti.variable(5,5,‘symmetric’)：对称矩阵
解算器会遵守变量声明的顺序。请注意，变量实际上是普通的 MX 符号。您可以对它们执行任何 CasADi MX 操作，例如嵌入积分器调用。
参数： 声明任意数量的参数。在求解之前必须将其固定为一个特定数值，并且可以随时覆盖该数值。
p = opti.parameter() opti.set_value(p, 3)
目标： 使用可能涉及所有变量或参数的表达式声明目标。再次调用该命令将丢弃旧目标。
opti.minimize( sin(x*(y-p))
约束 声明任意数量的相等/不相等约束：
opti.subject_to( sqrt(x+y) >= 1): 不等式
opti.subject_to( sqrt(x+y) > 1): 同上
opti.subject_to( 1<= sqrt(x+y) ): 同上
opti.subject_to( 5*x+y==1 ): 相等
您还可以同时抛出多个约束条件：
opti.subject_to([x*y>=1,x==3])
您可以声明双重不等式：
opti.subject_to( opti.bounded(0,x,1) )
当双不等式的边界不含变量时，约束条件将被有效地传递给支持它们的求解器（特别是 IPOPT）。
您可以使用向量进行元素（不）相等：
x = opti.variable(5,1) opti.subject_to( x*p<=3 )
矩阵的元素（不）等式不支持自然语法，因为半定义性约束存在歧义。解决方法是先进行矢量化：
A = opti.variable(5,5) opti.subject_to( vec(A)<=3 )
每条 subject_to 命令都会增加问题说明中的约束条件集。使用 subject_to() 命令可以清空约束条件集，然后重新开始。
求解器 必须始终声明求解器（数值后端）。第二个参数可以是一个可选的 CasADi 插件选项字典。第三个参数可以是求解器选项的可选字典。
p_opts = {"expand":True} s_opts = {"max_iter": 100} opti.solver("ipopt",p_opts, s_opts)
初始猜测：您可以提供决策变量（或决策变量的简单映射）的初始猜测。如果没有提供初始值，则假定数值为零。
opti.set_initial(x, 2) opti.set_initial(10*x[0], 2)
9.2. 解决问题和检索
9.2.1. 求解
设置问题后，您可以调用求解方法，该方法会构造一个 CasADi nlpsol 并调用它。
sol = opti.solve() This is Ipopt version 3.14.11, running with linear solver MUMPS 5.4.1. Number of nonzeros in equality constraint Jacobian...: 2 Number of nonzeros in inequality constraint Jacobian.: 2 Number of nonzeros in Lagrangian Hessian.............: 3 Total number of variables............................: 2 variables with only lower bounds: 0 variables with lower and upper bounds: 0 variables with only upper bounds: 0 Total number of equality constraints.................: 1 Total number of inequality constraints...............: 1 inequality constraints with only lower bounds: 1 inequality constraints with lower and upper bounds: 0 inequality constraints with only upper bounds: 0 iter objective inf_pr inf_du lg(mu) ||d|| lg(rg) alpha_du alpha_pr ls 0 0.0000000e+00 1.00e+00 1.00e+00 -1.0 0.00e+00 - 0.00e+00 0.00e+00 0 1 1.5180703e+00 2.32e-01 3.95e+08 -1.0 1.11e+00 - 9.90e-01 1.00e+00h 1 2 9.1720733e-01 1.38e-02 8.65e+08 -1.0 1.05e-01 10.0 1.00e+00 1.00e+00f 1 3 8.9187743e-01 4.67e-05 9.29e+06 -1.0 7.19e-03 - 1.00e+00 1.00e+00h 1 4 8.9179090e-01 5.46e-10 2.17e+02 -1.0 2.42e-05 - 1.00e+00 1.00e+00h 1 5 8.5961118e-01 2.43e-04 3.39e+00 -1.0 1.56e-02 - 1.00e+00 1.00e+00f 1 6 5.0768568e-01 3.58e-02 2.18e+00 -1.0 1.89e-01 - 3.86e-01 1.00e+00f 1 7 4.4751644e-01 4.12e-04 6.30e+07 -1.0 1.96e-02 9.5 1.00e+00 1.00e+00h 1 8 4.4707538e-01 4.25e-08 2.27e+04 -1.0 2.53e-04 - 1.00e+00 1.00e+00h 1 9 4.4688522e-01 9.34e-09 2.20e+00 -1.0 9.32e-05 - 1.00e+00 1.00e+00h 1 iter objective inf_pr inf_du lg(mu) ||d|| lg(rg) alpha_du alpha_pr ls 10 2.9995484e-02 3.46e-01 1.19e+00 -1.0 5.68e-01 - 5.45e-01 1.00e+00f 1 11 3.9964883e-04 3.56e-02 5.81e-02 -1.0 2.09e-01 - 1.00e+00 1.00e+00h 1 12 3.7581923e-06 5.63e-04 5.70e-03 -2.5 2.69e-02 - 1.00e+00 1.00e+00h 1 13 7.6573980e-10 1.48e-06 3.13e-05 -3.8 1.11e-03 - 1.00e+00 1.00e+00h 1 14 4.8778322e-14 2.53e-10 7.52e-09 -5.7 1.29e-05 - 1.00e+00 1.00e+00h 1 15 8.8029044e-20 1.60e-14 6.47e-13 -8.6 9.88e-08 - 1.00e+00 1.00e+00h 1 Number of Iterations....: 15 (scaled) (unscaled) Objective...............: 8.8029044107981477e-20 8.8029044107981477e-20 Dual infeasibility......: 6.4749359014643689e-13 6.4749359014643689e-13 Constraint violation....: 1.5987211554602254e-14 1.5987211554602254e-14 Variable bound violation: 0.0000000000000000e+00 0.0000000000000000e+00 Complementarity.........: 2.5060006300485104e-09 2.5060006300485104e-09 Overall NLP error.......: 2.5060006300485104e-09 2.5060006300485104e-09 Number of objective function evaluations = 16 Number of objective gradient evaluations = 16 Number of equality constraint evaluations = 16 Number of inequality constraint evaluations = 16 Number of equality constraint Jacobian evaluations = 16 Number of inequality constraint Jacobian evaluations = 16 Number of Lagrangian Hessian evaluations = 15 Total seconds in IPOPT = 0.009 EXIT: Optimal Solution Found. solver : t_proc (avg) t_wall (avg) n_eval nlp_f | 125.00us ( 7.81us) 30.37us ( 1.90us) 16 nlp_g | 254.00us ( 15.88us) 61.01us ( 3.81us) 16 nlp_grad_f | 161.00us ( 9.47us) 40.36us ( 2.37us) 17 nlp_hess_l | 237.00us ( 15.80us) 57.98us ( 3.87us) 15 nlp_jac_g | 218.00us ( 12.82us) 55.16us ( 3.24us) 17 total | 39.25ms ( 39.25ms) 9.88ms ( 9.88ms) 1
如果求解器收敛失败，调用将失败并提示错误。你仍然可以检查未收敛的解法（参见第 9.3 节）。
您可以多次调用求解。您将始终获得一份不可更改的问题规范及其解决方案。连续调用求解无助于问题的收敛。
要热启动求解器，需要明确地将一个问题的解转移到下一个问题的初始值中。
sol1 = opti.solve() print(sol1.stats()["iter_count"]) # Solving again makes no difference sol1 = opti.solve() print(sol1.stats()["iter_count"]) # Passing initial makes a difference opti.set_initial(sol1.value_variables()) sol2 = opti.solve() print(sol2.stats()["iter_count"]) 15 15 4 sol1 = opti.solve(); sol1.stats.iter_count % Solving again makes no difference sol1 = opti.solve(); sol1.stats.iter_count % Passing initial makes a difference opti.set_initial(sol1.value_variables()); sol2 = opti.solve(); sol2.stats.iter_count ans = 15 ans = 15 ans = 4
为了初始化对偶变量，例如在求解一组相似的优化问题时，可以使用以下语法：
sol = opti.solve() lam_g0 = sol.value(opti.lam_g) opti.set_initial(opti.lam_g, lam_g0) sol = opti.solve(); lam_g0 = sol.value(opti.lam_g); opti.set_initial(opti.lam_g, lam_g0);
9.2.2. 求解时的数值
之后，您可以获取变量（或变量的表达式）在解时的数值：
sol.value(x)：决策变量的数值
sol.value§：参数值
sol.value(sin(x+p))：表达式的值
sol.value(jacobian(opti.g,opti.x))：约束条件 jacobian 的值
请注意，在适用情况下，值的返回类型是稀疏的。
9.2.3. 其他点的数值
您可以向 value 传递一系列推翻赋值表达式。在下面的代码中，我们要求得到目标值，并使用解决方案中的所有最优值，但 y 除外，我们将其设置为 2。请注意，此语句不会永久修改 y 的实际最优值。`
obj = (y-x**2)**2 opti.minimize(obj) print(sol.value(obj,[y==2])) 1.909830056703819 obj = (y-x^2)^2; opti.minimize(obj); sol.value(obj,{y==2}) ans = 1.9098
一个相关的使用模式是在初始猜测时对表达式进行评估：
print(sol.value(x**2+y,opti.initial())) 0.0 sol.value(x**2+y,opti.initial()) ans = 0
9.2.4. 对偶变量
为了获得约束条件的对偶变量（拉格朗日乘数），请确保先保存约束条件表达式：
con = sin(x+y)>=1 opti.subject_to(con) sol = opti.solve() print(sol.value(opti.dual(con))) 0.258679501736367 con = sin(x+y)>=1; opti.subject_to(con); sol = opti.solve(); sol.value(opti.dual(con)) ans = 0.2587
9.3. 额外内容
求解器很可能找不到最优解。在这种情况下，您仍然可以通过调试模式访问未求和的解：
opti.debug.value(x)
与此相关的是，你还可以根据提供给求解器的初始猜测，查看表达式的值：
opti.debug.value(x,opti.initial())
如果求解器因问题不可行而停止，您可以使用
opti.debug.show_infeasibilities()
如果求解器在某个位置报告了 NaN/Inf，您可以通过查看其描述找出是哪个约束或变量的问题：
opti.debug.x_describe(index) opti.debug.g_describe(index)
您可以指定一个回调函数；求解器每次迭代时都会调用该函数，参数为当前迭代次数。要绘制求解器的进度图，可以通过调试模式访问未求和的解决方案：
opti.callback(lambda i: plot(opti.debug.value(x))) opti.callback(@(i) plot(opti.debug.value(x)))
可以通过调用不带参数的回调函数，从 Opti 堆栈中清除回调。
您可以通过调用 to_function 函数，从 Opti 对象中构造一个普通的 CasADi 函数。所提供的输入参数列表可能包含参数、决策变量和双重变量。与变量相对应的输入将作为初始猜测。如果希望在求解失败时抛出运行时错误，可以通过 error_on_fail 作为求解器选项。
f = opti.to_function("f",[x,y],[x**2+y]) print(f(0, 0)) 1.23607 f = opti.to_function('f',{x,y},{x^2+y}); disp(f(0, 0)) 1.23607
十、 不同语言的用法差异* 10.1.
10.1. 一般用法
例句：
10.2. 操作列表
以下是最重要的操作列表。不同语言中的不同操作用星号 (*) 标出。该列表并不完整，也未显示每个操作的所有变体。更多信息请参阅 API 文档。
