高等数学笔记（一）：映射与函数

一、映射

1.1 映射的概念

存在一个法则 f ，使得对 X 中每个元素 x ，在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应（X、Y 非空集）

称 f 为从 X 到 Y 的映射，如图所示

其中 y 称为元素 x（在映射 f 下）的像,并记作 x ，如图所示

而元素 x 称为元素 y （在映射 f 下）的一个原像

集合 X 称为映射 f 的定义域，记作

X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域,记作

引用书上的案例，给出法则 f，可得出定义域和值域

Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像时称 f 为 X 到 Y 上的映射或满射

如果对于 X 中的任意两个不同的元素 x1 和 x2，当 x1≠x2 时，总有 f(x1)≠f(x2)，则 f 为 X 到 Y 的单射，如图所示

若既是单射又是满射则称为双射（上面第一个案例即是）

1.2 逆映射与复合映射

接上述，f 是 X 到 Y 的映射，可定义新的映射

规定 g(y)=x，x 满足 f(x)=y 时，称 g 为 f 的逆映射，记作

其定义域和值域分别为：

注意：只有单射才满足逆映射

现在假设有两个映射

其中 Y2 包含 Y1，那么可以得出一个 X 到 Z 对应法则，这个映射由 g 和 f 构成，称为复合映射

二、函数

2.1 函数的特性

2.1.1 有界性

一个函数 f: X ➡ Y 的有界性可以分为以下几种情况：

函数的有界性是函数的一个重要特性，具体体现在以下几点：

• 上有界：函数值不超过某个最大值。
• 下有界：函数值不低于某个最小值。
• 有界：函数值在某个上下限之间。

2.1.2 单调性

单调递增

函数  f: X ➡ Y 在定义域 X 上是单调递增的，如果对于任意的 x1,x2 ∈ X，当 x1 < x2 时，总有 f(x1) ≤ f(x2)

单调递减

函数  f: X ➡ Y 在定义域 X 上是单调递减的，如果对于任意的 x1,x2 ∈ X，当 x1 < x2 时，总有 f(x1) ≥ f(x2)

2.1.3 奇偶性

偶函数：关于 Y 轴对称，即 f(x) = f(-x)

奇函数：关于原点对称，即 f(-x) = -f(x)

2.1.4 周期性

它描述了函数在某一固定间隔内重复其值的性质

一个函数 f 被称为周期函数，如果存在一个非零常数 T 使得对于定义域中的每一个 x，都有：

f(x+T) = f(x)

这个非零常数 T 被称为函数 f 的周期（通常是最小周期）

2.2 反函数与复合函数

2.2.1 反函数

用之前的逆映射的案例，f-1 为函数 f 反函数，原来的函数称为 直接函数

反函数的性质：

2.2.2 复合函数

定义：

复合函数的性质：

2.3 函数的运算