行列式按行展开
余子式
若有行列式如下：
则有下面的余子式：
代数余子式
比余子式多了一个符号：
定理1
行列式按某行（列）展开， 
某行（列）元素乘以自己的代数余子式。（降阶）
，对于这个行列式，假设我们按第一行展开：
很显然，我们在展开时应尽量选择0较多的行或者列，类似于这个行列式我们就会选择展开第二行而不是第一行了。
定理2
某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和等于0.
相比于定理1，这个定理不是很常用
有如下行列式：
，我们用第四行的元素与第一行元素的代数余子式相乘，再相加
证明：
根据性质3（行列式中两行或者两列对应相等，则该行列式的值为0） ，所以D=0.
练习
（解题方法不唯一）
题1
四阶行列式
=（）
A.0 B.4 C.12 D.-12
故答案选择：D.-12
题2
四阶行列式
展开式中x的系数为（）
A.-4 B.4 C.2 D.-2
故答案选择：A.-4
题3
排列的逆序数为（）
A.2n B.2n-1 C.n(2n-1) D.2n(n-1)
根据逆序数的定义，我们可以知道，这道题本质上是求等差数列1,2,3...(2n-1)的和；
因为对于‘2n’来说，其逆序数有2n-1个、对于‘2n-1’来说，其逆序数有2n-2个，以此类推。
代入等差数列的求和公式 
，逆序数等于 
故答案选择：C.n(2n-1)
题4
设
，则x=（）
A.0或1 B.0或-2 C.1或-2 D.0或-1
故答案选择： C.1或-2
题5
若
，则
=（）
A.m B.2m C.3m D.4m
从行的角度看，第一行提一个2，得
第二行再提一个2，得
再从列的角度看，第一列提一个2，得
第二列再提一个2，得
范德蒙行列式
回顾
范德蒙行列式形式： 
遇到类似于上式的行列式时，可以使用范德蒙行列式直接计算此行列式的值。
具有上式特征的行列式的值为：
上面的式子表示：行列式D的值为所有的 
的乘积（其中i>j）
例如：
的值为： 
练习
题1
三阶行列式
=（）
A.（b-a）（c-a）（c-b） B.abc（b-a）（c-a）（c-b）
C.（b+a）（c+a）（c+b） C.abc（b+a）（c+a）（c+b）
原式= 
因此答案选择： B.abc（b-a）（c-a）（c-b）
题2
四阶行列式
=（）
A.-120 B.120 C.24 D.-24
因此答案选择： A.-120
克拉默法则
有下列方程组： 
其系数行列式 
，则方程组解唯一。
意为把行列式中的第 i 列替换为 
例如，
