【数据结构】二叉树的介绍和二叉树堆

学习目标：

      树这一概念，在我们刚开始听说的时候会觉得很难，但是在深入学习之后，还是会觉得很难hh，因为在后面，我们会学习一些奇奇怪怪的树，但是这一篇博客不是讲述那些奇奇怪怪的树。我们这一篇博客是讲解树的基本概念，二叉树的基本概念和堆的基本概念。

学习内容：

通过上面的学习目标，我们可以列出要学习的内容：

1. 树的基本概念
2. 堆的基本概念

一、树的概念及其结构

1.1 树的概念

      树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根节点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分为M(M>0)个互补相交的集合T1、T2、T3……Tm，其中每一个集合Ti（1<=i<=m)又是一个结构与树类似的子树。每一颗子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或者多个后继
• 因此，树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点中含有的子树称为该节点的度；如上图：A的节点为6

叶结点或者终端节点：度为0的节点称为叶结点；如上图：B、C、H、I……等节点为叶结点

非终端节点或者分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G……等节点为分支节点

双亲节点或者父节点：若一个节点中含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；

孩子节点或者子节点：一个节点中含有的子树的根节点称为该节点的子节点；

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点；

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

1.3 树的表示

      如果是一个多叉数，想存储一个树是比较复杂的，树的结构相对于线性表就比较复杂，要存储起来时比较麻烦，既要保存值域，又要保存节点和节点之间的关系，我们可以使用结构体来表示树 的一个节点，这里要介绍一个非常好用的方法：左孩子右兄弟表示法。图解如下：

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

二、二叉树的概念及其结构

2.1 二叉树的概念

一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两颗名字为左子树和右子树的二叉树组成

2.2 两个特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一层的结点数后到达最大值，则这个二叉树就是满二叉树，也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且结点总数为2^k - 1，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树印出来的，对于深度为k，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时称之为完全二叉树，要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(i - 1)个结点
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h - 1
3. 对任何一颗二叉树，如果度为0其叶结点个数为n0，度为2的叶结点个数为n2，则有n0 = n2 - 1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = log(n + 1)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上到下，从左到右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：1） 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点      2）若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子      3） 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

三、堆的概念

      如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： <= 且 <=  ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。