克雷研究所100万美元奖金要归AI了，数学界规则大改，未来数学家如何应对海量猜想

数学，作为人类智慧的结晶，一直以来都被认为是人类创造力和直觉的领域。然而，近年来人工智能（AI）的发展正在挑战这一观念，尤其是在数学领域。本文将探讨AI如何改变数学研究的格局，以及未来数学家将如何应对这一变革。

2017年，伦敦数学科学研究所的研究人员开始将机器学习应用于数学数据，这在当时可能只被视为一种业余爱好。然而，在COVID-19疫情期间，他们取得了一项重大突破：他们发现简单的AI分类器可以预测椭圆曲线的秩，这是衡量其复杂性的重要指标。椭圆曲线是数论的基本概念，理解它们的统计特性是解决克雷研究所提出的七个千禧年问题之一的关键步骤，这些问题每个都带有100万美元的奖金。

这一发现震惊了数学界，因为很少有人预料到AI会在如此高风险的领域取得进展。然而，这只是AI在数学领域取得的众多成就之一。几年前，一个名为拉马努金机器的计算机程序通过搜索连分数族，生成了基本常数（如π和e）的新公式。其中一些猜想已经被证明，而另一些仍然开放。

另一个例子是纽结理论，这是拓扑学的一个分支，研究的是假设的弦在两端粘合之前是如何纠缠的。伦敦谷歌DeepMind的研究人员通过训练神经网络处理大量不同纽结的数据，发现了纽结的代数结构和几何结构之间的意外关系。

那么，AI是如何在那些被认为需要人类创造力的数学领域产生影响的呢？首先，数学中没有巧合。在现实世界的实验中，假阴性和假阳性很常见，但在数学中，一个反例就足以推翻一个猜想。例如，波利亚猜想认为，在任何给定整数以下，大多数整数的素因子数量为奇数。然而，1960年发现该猜想不适用于906,180,359这个数，从而推翻了该猜想。

其次，AI可以训练的数学数据很便宜。素数、纽结和其他许多类型的数学对象非常丰富。在线整数序列百科全书（OEIS）包含了近375,000个序列，从熟悉的斐波那契序列（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...）到令人生畏的忙碌海狸序列（0, 1, 4, 6, 13...），后者的增长速度超过了任何可计算函数。科学家已经在使用机器学习工具搜索OEIS数据库，以发现意想不到的关系。

AI可以帮助我们发现模式并提出猜想，但并非所有猜想都是平等的。它们还需要推动我们对数学的理解。在1940年的论文《一个数学家的道歉》中，G.H.哈代解释说，一个好的定理应该是许多数学构造的组成部分，用于证明许多不同类型的定理。换句话说，最好的定理增加了发现新定理的可能性。帮助我们开拓新的数学前沿的猜想比那些提供较少见解的猜想更好。然而，区分它们需要对领域本身的发展方向有直觉。这种对更广泛背景的把握在很长一段时间内都将超出AI的能力范围，因此技术将难以发现重要的猜想。

然而，尽管存在这些限制，AI工具在数学界更广泛的应用也有很多好处。AI可以提供决定性的优势，开辟新的研究领域。主流数学期刊也应该发表更多的猜想。数学中的一些最重要的问题，如费马大定理、黎曼假设、希尔伯特的23个问题和拉马努金的许多恒等式，以及无数不太著名的猜想，都塑造了该领域的发展方向。猜想通过为我们指明正确的方向来加快研究速度。关于猜想的期刊文章，由数据或启发式论证支持，将加速发现。

去年，谷歌DeepMind的研究人员预测了220万个新的晶体结构。然而，目前尚不清楚这些潜在的新材料中有多少是稳定的，可以被合成，并且具有实际应用。目前，这主要是人类研究人员的任务，他们对材料科学的更广泛背景有很好的理解。同样，数学家的想象力和直觉将被需要，以理解AI工具的输出。因此，AI只会作为人类创造力的催化剂，而不是替代品。

文章链接：https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w