在自然科学研究中，可积偏微分方程（PDE）系统因其可解性、可预测性和可控性而备受关注。然而，这些系统的发现极为罕见且困难重重。为了应对这一挑战，麻省理工学院的Subhash Kantamneni、Ziming Liu和Max Tegmark等人提出了一种创新的机器学习方法——OptPDE，这是一种优化PDE系数以最大化守恒量数量的方法，用以发现新的可积系统。他们的研究不仅发现了四个可积PDE家族，其中三个在文献中是首次出现，而且还展示了人工智能与人类科学家协作发现可积系统的潜力。
OptPDE的核心在于其优化策略，它通过调整PDE的系数来最大化守恒量的数量，从而寻找新的可积系统。研究团队还开发了CQFinder，这是一个能够自动识别给定PDE守恒量的程序，它为OptPDE提供了关键的输入。通过这种方法，研究人员不仅重新发现了已知的Korteweg–De Vries (KdV) 方程，还发现了三个新的PDE家族。
这项研究的一个显著特点是AI与人类科学家之间的协作。机器学习提供了可能的可积系统假设，而人类科学家则负责验证和分析这些假设。这种合作模式为解决复杂的物理和工程问题提供了新的途径。
在新发现的PDE家族中，研究团队特别关注了形式为ut = (ux + a2uxxx)^3的方程。他们深入研究了当a = 0时的情况，即ut = u3x，这个特殊情况展示了多种有趣的现象，包括波动解、破裂存在（类似于Burgers方程）、破裂前无穷多的守恒量、破裂后幅度的幂律衰减，以及最终趋向于三角波的收敛。
研究团队构建了CQFinder来精确计算任何PDE的守恒量。他们考虑了具有一维空间变量x的一阶时间PDE，并定义了守恒量的形式。通过参数化设置，他们将问题转化为有限维线性系统，并通过奇异值分解来获得守恒量。此外，他们还设计了OptPDE来使用CQFinder输出的守恒量数量来发现可积PDE系统。
为了验证CQFinder的有效性，研究团队在Burgers方程、KdV方程和Schrödinger方程上进行了测试。CQFinder不仅正确计算了守恒量的数量，还获得了它们的符号公式。此外，他们还使用主成分分析（PCA）来分析OptPDE的结果，并发现了具有至少一个守恒量的四个PDE家族。
尽管OptPDE在发现新的可积PDE系统方面取得了成功，但研究团队指出，高质量的Jacobi轨迹数据集对于训练CLLM至关重要，因此数据清洗和预处理变得尤为关键。此外，数据集的大小也会影响CLLM的性能。未来的研究可以进一步探索这种方法在其他物理现象建模中的应用，并利用OptPDE发现更多的可积PDE系统。
