我们已经学习了如何进行原码,补码的乘法:
现在以同样的思路学习除法运算:
一.原码的除法
对于手算的10进制除法,我们是这样计算的
为什么这样计算呢,我们来看一下:
第一步得到的余数为0.2110,我们需要拼凑上小于等于这个数,且最接近这个数的值,即
0.985*0.2=0.1970,接下来继续以这个规则拼凑
0.985*0.01=0.00985
0.985*0.004=0.00394
最后得到商就是0.214
那么同理,2进制的手算除法:
计算机如何实现除法:
运算器结构如下:
ACC:累加器,用于存放操作数,或运算结果
MQ:乘商寄存器,在乘、除运算时,用于存放操作数或运算结果
X:通用的操作数寄存器,用于存放操作数
ALU:算术逻辑单元,通过内部复杂的电路实现算数运算、逻辑运算
ACC用于存储被除数、余数,MQ用于存储商,X用于存储除数。
(1)恢复余数法
实现方法:上商0/1,得到余数,余数末尾补0
符号位单独处理:符号位=
数值位取绝对值进行除法计算:
设机器字长为5位(含1位符号位,n=4),X=0.1011,y=0.1101,采用原码恢复余数法求x/y
|x|=0.1011,|y|=0.1101,[|y|]补=0.1101,[-|y|]补=1.0011
这里注意计算机会默认上商1
手算时,每一位商取0/1 是通过判断当前余数和除数的大小确定的:
那么计算机就会将ACC(余数)-通用寄存器(除数)--->ACC
将余数-除数,就是将余数+除数的负值的补码([-|y|]补),因为计算机中没有减法电路,所有减法都是通过补码的加法等价实现的,这里的加法是通过ALU中的加法电路实现的,不太理解可以先看:
1.(ACC)+[-|y|]补-->ACC=01011+10011=11110
这里相减的结果是负数,所以说明被除数比除数更小,所以应该上商0,计算机检测到符号位为
1,所以将MQ上商0
2.因为商0,而不是商1,所以保存在ACC中的数值是错误的,也就是说
不应该为(ACC)+[-[y]]补-->ACC,而是(ACC)-0-->ACC,为了恢复原来的数,我们再加上[|y|]补,就是
(ACC)+[|y|]补--->ACC
11110+01101=01011
恢复原来的ACC值,并且上商0
3.将ACC与MQ的数统一进行逻辑左移,MQ的最高位会移动到ACC的最低位,原本的ACC最高位被丢弃,低位补0
4.同理,右移后MQ还是会默认上商1:(ACC)-(除数)--->ACC
(ACC)+[-|y|]补--->ACC
10110+10011=01001
此时计算机识别当前符号位为正,那么这一步商1是对的
不需要恢复余数,直接进行左移
同理如此重复,可以得到5位商:0.1101
而最终得到的余数需要在0.0111的基础上* (这里的n就是数值位的个数,在这里就是4)
这一步注意,最后一步上商1,若余数为负也就是红色字体为1,那么也需要进行恢复余数并商0
5.最后符号位0 0=0
重点看这
以上是恢复余数法的所有过程:
1.默认商1,+[-|y|]补
2.余数为负,改为商0,并恢复余数(+[|y|]补),再进行左移
3.余数为正,直接商1,不用恢复余数,直接左移
4.最后的商位数为n+1(数值位+符号位),即上商n+1次,左移n次(最后一次上商不左移)
注:最后一步上商1,若余数为负也就是红色字体为1,那么也需要进行恢复余数并商0
5.异或判断符号位的正负
(2)不恢复余数法(加减交替法)
我们可以观察恢复余数这几部,当发现余数为负时,需要加上[|y|]补恢复余数,在进行左移,减去余数([-|y|]补),才能得到下一步的商,根据算式,就是将a--->2a+b的过程:也就是将余数左移一位(2a)+除数的绝对值(b)
所以得到不恢复余数法
重点看这
1.默认商1
2.若余数为负则可直接商0,让余数左移1位再加上|除数|(+[|y|]补),得到下一个新余数
3.若余数为正,则商1,让余数左移1位再减去|除数| (+[-|y|]补),得到下一个新余数
4.最后的商位数为n+1(数值位+符号位)
注:加/减n+1次,每次加减确定一位商;左移n次(最后一次加减完不移位)
最终可能还要再多一次加,这需要看余数的正负,下面有讲(所以加/减可能是n+1次,n+2次)
5.异或判断符号位的正负
注:余数的正负性与商相同,若最后一步得到的余数是一个负值,需商0,并且+[|y|]补得到正确的余数
注:这一篇讲的是定点小数的除法运算,被除数一定要小于除数,若被除数大于除数,最后商会为:1.几,而定点小数无法表示大于1的范围,那么机器就是通过第一步得到的商判断的:
第一步被除数-除数,一定为负,商要从默认的1,改为0,若第一步的商不为0,那么就会直接停止除法运算
二. 补码除法运算
补码的除法运算与原码的除法运算中的加减交替法有很多相似
原码中的加减交替法与补码的除法运算的区别:
1.补码除法中,符号位会参与运算
2.被除数/余数,除数都会采用双符号位
3.这里的除数不是原码中的|除数|的补码,而是除数的补码,因为符号位也会参与运算
4.在原码加减交替法中,第一步一定是-|除数|,而在补码的加减交替法中,是根据被除数与除数是否同号来判断+[y]补或+[-y]补
第一步:
被除数和除数同号,则被除数减去除数;
异号则被除数加上除数。
接下来的每一步:
余数和除数同号,商1,余数左移一位减去除数;
余数和除数异号,商0,余数左移一位加上除数。
重复n次
设机器字长为5位(含1位符号位,n=4),x=+0.1000,y=-0.1011,采用补码加减交替除法求x/y
例如00.1000与11.0101,异号加上除数,得到11.1101,接下来看余数和除数,余数为11.1101,除
数为11.0101,同号,商1,余数左移一位并且减除数。如此重复n次(n为数值位的个数)
注意:
在补码中,最后一步是异号的,应该商0,但是在补码加减交替法中,末尾商恒置1,这样做精度误差不超过
而在原码中,若最后一步得到的余数是一个负值,需商0,并且+[|y|]补得到正确的余数
重点看这
1.第一步:被除数和除数同号,则被除数减去除数;异号则被除数加上除数。
接下来的每一步:
余数和除数同号,商1,余数左移一位减去除数;
余数和除数异号,商0,余数左移一位加上除数。
2.最后商位数为n+1(数值位+符号位),加/减次数n+1,左移次数为n
3.末位恒置1
总结:
原码加减交替法与补码加减交替法的区别: