数据结构：8、堆-阿里云开发者社区

一、树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是递归定义的。

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的应用最简单的就是文件夹，例如我们打开一个文件是先选入c盘这种，这个c盘就相当于树的祖先，而C盘下面的文件就是相当于他的子节点，这个就是最简单的应用。

而书如果要用c语言去写就是一个结构体，但是一般有几种写法如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等，但是最常用的就是左孩子右兄弟表示法，也就是孩子兄弟表示法，如下图，根节点中存着左边的第一个节点，和右边的兄弟节点，兄弟节点直到空，这样就能全部遍历了。

二、二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的。

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2 ＋1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1)(ps：log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

①若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

②若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

③若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址

三、堆的概念

如果有一个关键码的集合K = { k0，k1 ，k2 ，…，k(n-1)}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： Ki <=K(2*i+1)且Ki<=K(2*i+2)

( Ki <=K(2*i+1)Ki<=K(2*i+2)) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

堆总是一棵完全二叉树。

四、堆的实现

1、堆的创建和销毁

堆的创建这里就是是利用数组，创建一个结构体利用初始化，直接把数组指针置空，然后数组的容量和大小为0，销毁就是free和置空赋值为0，代码如下

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
  HPDataType* a;
  int size;
  int capacity;
}Heap;
// 堆的构建
void HeapInit(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  hp->a = NULL;
  hp->capacity = 0;
  hp->size = 0;
}
 
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  assert(!HeapEmpty(hp));
  hp->capacity = hp->size = 0;
  free(hp->a);
  hp->a = NULL;
}

2、堆的向上调整与向下调整

这个原理就是判断交换，然后这个是那两个数据判断呢？

如图：就是根据图上两个式子去判定数据在哪，代码实现如图。

//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n,int parent)
{
  int chaild = parent * 2 + 1;
  while (chaild<n)
  {
    if (chaild + 1 < n && a[chaild+1] < a[chaild])
    {
      ++chaild;
    }
    if (a[chaild] < a[parent])
    {
      Swap(&a[parent], &a[chaild]);
      parent = chaild;
      chaild = parent * 2 + 1;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
 
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int chaild)
{
  assert(a);
  int parent = (chaild - 1) / 2;
  while (chaild > 0)
  {
    if (a[parent] > a[chaild])
    {
      Swap(&a[parent], &a[chaild]);
      chaild = parent;
      parent = (chaild - 1) / 2;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}

3、堆的插入与删除

插入就是在数组里面插入，然后把计数的size++，就相当于在数组的末尾加数据，相当于数组的存储数据，而size就是记录下标，前面是判断容量大小是否够，然后创建空间。

删除就是把堆顶和堆低的数据交换，然后删除向下调整，如果不交换直接删除，就会让堆里面的关系错乱，代码如图。

// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
  assert(hp);
  if (hp->capacity == hp->size)
  {
    int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;
    HPDataType* newnode = (HPDataType*)realloc(hp->a,sizeof(HPDataType) * newcapacity);
    if (newnode == NULL)
    {
      perror("realloc fail");
      return;
    }
    hp->capacity = newcapacity;
    hp->a = newnode;
  }
  
  hp->a[hp->size] = x;
  hp->size++;
  AdjustUp(hp->a, hp->size-1);
  
}
 
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  assert(!HeapEmpty(hp));
  Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size-1]);
  hp->size--;
  AdjustDown(hp->a, hp->size , 0);
}

4、堆的获取顶部数据

这个直接把数组下标为0的数据返回就行。

// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  assert(!HeapEmpty(hp));
  return hp->a[0];
}

5、堆的数据个数

直接返回结构体里面的size就行。

// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  assert(!HeapEmpty(hp));
  return hp->size;
}

6、堆的判空与交换

判空就是当size为0时就返回真，交换就是利用指针去交换数据。

// 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  return hp->size == 0;
}
//交换
void Swap(int* p1, int* p2)
{
  int tmp = *p1;
  *p1 = *p2;
  *p2 = tmp;
}

7、测试以及测试结果

如图1就是把数组里面的数据建堆的形成的数据，图二就是删除顶部数据的后的数据，然后向下调整成小堆，图三就是数据个数和顶部数据的测试。

void TestHeap()
{
  Heap hp;
  HeapInit(&hp);
  int arr[] = { 65,100,70,32,50,60 };
  for (int i = 0; i < sizeof(arr)/sizeof(arr[0]); i++)
  {
    HeapPush(&hp, arr[i]);
  }
  HeapPop(&hp);
  int tmp = HeapTop(&hp);
  int size = HeapSize(&hp);
  HeapDestory(&hp);
}

五、代码

test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "HP.h"
 
void TestHeap()
{
  Heap hp;
  HeapInit(&hp);
  int arr[] = { 65,100,70,32,50,60 };
  for (int i = 0; i < sizeof(arr)/sizeof(arr[0]); i++)
  {
    HeapPush(&hp, arr[i]);
  }
  HeapPop(&hp);
  int tmp = HeapTop(&hp);
  int size = HeapSize(&hp);
  HeapDestory(&hp);
}
 
int main()
{
  TestHeap();
  return 0;
}

HP.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "HP.h"
 
// 堆的构建
void HeapInit(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  hp->a = NULL;
  hp->capacity = 0;
  hp->size = 0;
}
 
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  assert(!HeapEmpty(hp));
  hp->capacity = hp->size = 0;
  free(hp->a);
  hp->a = NULL;
}
 
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
  assert(hp);
  if (hp->capacity == hp->size)
  {
    int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;
    HPDataType* newnode = (HPDataType*)realloc(hp->a,sizeof(HPDataType) * newcapacity);
    if (newnode == NULL)
    {
      perror("realloc fail");
      return;
    }
    hp->capacity = newcapacity;
    hp->a = newnode;
  }
  
  hp->a[hp->size] = x;
  hp->size++;
  AdjustUp(hp->a, hp->size-1);
  
}
 
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  assert(!HeapEmpty(hp));
  Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size-1]);
  hp->size--;
  AdjustDown(hp->a, hp->size , 0);
}
 
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  assert(!HeapEmpty(hp));
  return hp->a[0];
}
 
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  assert(!HeapEmpty(hp));
  return hp->size;
}
 
// 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp)
{
  assert(hp);
  return hp->size == 0;
}
 
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n,int parent)
{
  int chaild = parent * 2 + 1;
  while (chaild<n)
  {
    if (chaild + 1 < n && a[chaild+1] < a[chaild])
    {
      ++chaild;
    }
    if (a[chaild] < a[parent])
    {
      Swap(&a[parent], &a[chaild]);
      parent = chaild;
      chaild = parent * 2 + 1;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
 
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int chaild)
{
  assert(a);
  int parent = (chaild - 1) / 2;
  while (chaild > 0)
  {
    if (a[parent] > a[chaild])
    {
      Swap(&a[parent], &a[chaild]);
      chaild = parent;
      parent = (chaild - 1) / 2;
    }
    else
    {
      break;
    }
  }
}
 
//交换
void Swap(int* p1, int* p2)
{
  int tmp = *p1;
  *p1 = *p2;
  *p2 = tmp;
}

HP.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>
 
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
  HPDataType* a;
  int size;
  int capacity;
}Heap;
// 堆的构建
void HeapInit(Heap* hp);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
bool HeapEmpty(Heap* hp);
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int chaild);
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int chaild);
//交换
void Swap(int* p1, int* p2);

数据结构：8、堆