介绍
本文比较了几个时间序列模型，以预测SP500指数的每日实际波动率。基准是SPX日收益序列的ARMA-EGARCH模型。将其与GARCH模型进行比较 。最后，提出了集合预测算法。
假设条件
实际波动率是看不见的，因此我们只能对其进行估算。这也是波动率建模的难点。如果真实值未知，则很难判断预测质量。尽管如此，研究人员为实际波动率开发了估算模型。Andersen，Bollerslev Diebold（2008） 和 Barndorff-Nielsen and Shephard（2007） 以及 Shephard and Sheppard（2009） 提出了一类基于高频的波动率（HEAVY）模型，作者认为HEAVY模型给出了 很好的 估计。
假设：HEAVY实现的波动率估算器无偏且有效。
在下文中，将HEAVY估计量作为 观察到的已实现波动率（实际波动率） 来确定预测性能。
数据来源
- SPX每日数据（平仓收益）
- SPX盘中高频数据（HEAVY模型估计）
- VIX
- VIX衍生品（VIX期货）
在本文中，我主要关注前两个。
数据采集
实际波动率估计和每日收益
我实现了Shephard和Sheppard的模型，并估计了SPX的实际量。
head(SPXdata)
SPX2.rv SPX2.r SPX2.rs SPX2.nobs SPX2.open 2000-01-03 0.000157240 -0.010103618 0.000099500 1554 34191.16 2000-01-04 0.000298147 -0.039292183 0.000254283 1564 34195.04 2000-01-05 0.000307226 0.001749195 0.000138133 1552 34196.70 2000-01-06 0.000136238 0.001062120 0.000062000 1561 34191.43 2000-01-07 0.000092700 0.026022074 0.000024100 1540 34186.14 2000-01-10 0.000117787 0.010537636 0.000033700 1573 34191.50 SPX2.highlow SPX2.highopen SPX2.openprice SPX2.closeprice 2000-01-03 0.02718625 0.005937756 1469.25 1454.48 2000-01-04 0.04052226 0.000000000 1455.22 1399.15 2000-01-05 -0.02550524 0.009848303 1399.42 1401.87 2000-01-06 -0.01418039 0.006958070 1402.11 1403.60 2000-01-07 -0.02806616 0.026126203 1403.45 1440.45 2000-01-10 -0.01575486 0.015754861 1441.47 1456.74 DATE SPX2.rvol 2000-01-03 2000-01-03 0.012539537 2000-01-04 2000-01-04 0.017266934 2000-01-05 2000-01-05 0.017527864 2000-01-06 2000-01-06 0.011672103 2000-01-07 2000-01-07 0.009628084 2000-01-10 2000-01-10 0.010852972
SPXdata$SPX2.rv 是估计的实际方差。 SPXdata$SPX2.r 是每日收益（平仓）。 SPXdata$SPX2.rvol 是估计的实际波动率
SPXdata$SPX2.rvol
基准模型：SPX每日收益率建模
ARMA-EGARCH
考虑到在条件方差中具有异方差性的每日收益，GARCH模型可以作为拟合和预测的基准。
首先，收益序列是平稳的。
Augmented Dickey-Fuller Test data: SPXdata$SPX2.r Dickey-Fuller = -15.869, Lag order = 16, p-value = 0.01 alternative hypothesis: stationary
分布显示出尖峰和厚尾。可以通过t分布回归分布密度图来近似 。黑线是内核平滑的密度，绿线是t分布密度。
acf(SPXdata$SPX2.r) ##自相关系数图
Box-Ljung test data: SPXdata$SPX2.r X-squared = 26.096, df = 1, p-value = 3.249e-07
自相关图显示了每周相关性。Ljung-Box测试确认了序列存在相关性。
Series: SPXdata$SPX2.r ARIMA(2,0,0) with zero mean Coefficients: ar1 ar2 -0.0839 -0.0633 s.e. 0.0154 0.0154 sigma^2 estimated as 0.0001412: log likelihood=12624.97 AIC=-25243.94 AICc=-25243.93 BIC=-25224.92
auro.arima 表示ARIMA（2,0,0）可以对收益序列中的自相关进行建模，而eGARCH（1,1）在波动率建模中很受欢迎。因此，我选择具有t分布的ARMA（2,0）-eGARCH（1,1）作为基准模型。
*---------------------------------* * GARCH Model Spec * *---------------------------------* Conditional Variance Dynamics ------------------------------------ GARCH Model : eGARCH(1,1) Variance Targeting : FALSE Conditional Mean Dynamics ------------------------------------ Mean Model : ARFIMA(2,0,0) Include Mean : TRUE GARCH-in-Mean : FALSE Conditional Distribution ------------------------------------ Distribution : std Includes Skew : FALSE Includes Shape : TRUE Includes Lambda : FALSE
我用4189个观测值进行了回测（从2000-01-03到2016-10-06），使用前1000个观测值训练模型，然后每次向前滚动预测一个，然后每5个观测值重新估计模型一次 。下图显示 了样本外 预测和相应的实际波动率。
预测显示与实现波动率高度相关，超过72％。
cor(egarch_model$roll.pred$realized_vol, egarch_model$roll.pred$egarch.predicted_vol, method = "spearman")
[1] 0.7228007
误差摘要和绘图
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. -0.0223800 -0.0027880 -0.0013160 -0.0009501 0.0003131 0.0477600
平均误差平方（MSE）：
[1] 1.351901e-05
改进：实际GARCH模型和LRD建模
实际GARCH
realGARCH 该模型由 Hansen，Huang和Shek（2012） （HHS2012）提出，该模型 使用非对称动力学表示将实际（已实现）波动率测度与潜在 \_真实波动率联系\_起来。与标准GARCH模型不同，它是收益和实际波动率度量的联合建模（本文中的HEAVY估计器）。
模型：
*---------------------------------* * GARCH Model Spec * *---------------------------------* Conditional Variance Dynamics ------------------------------------ GARCH Model : realGARCH(2,1) Variance Targeting : FALSE Conditional Mean Dynamics ------------------------------------ Mean Model : ARFIMA(2,0,0) Include Mean : TRUE GARCH-in-Mean : FALSE Conditional Distribution ------------------------------------ Distribution : norm Includes Skew : FALSE Includes Shape : FALSE Includes Lambda : FALSE
滚动预测过程与上述ARMA-EGARCH模型相同。下图显示 了样本外 预测和相应的实际波动率。
预测与实际的相关性超过77％
cor(arfima_egarch_model$roll.pred$realized_vol, arfima_egarch_model$roll.pred$arfima_egarch.predicted_vol, method = "spearman")
[1] 0.7707991
误差摘要和图：
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. -1.851e-02 -1.665e-03 -4.912e-04 -1.828e-05 9.482e-04 5.462e-02
均方误差（MSE）：
[1] 1.18308e-05
备注：
- 用于每日收益序列的ARMA-eGARCH模型和用于实际波动率的ARFIMA-eGARCH模型利用不同的信息源。ARMA-eGARCH模型仅涉及每日收益，而ARFIMA-eGARCH模型基于HEAVY估算器，该估算器是根据日内数据计算得出的。RealGARCH模型将它们结合在一起。
- 以均方误差衡量，ARFIMA-eGARCH模型的性能略优于realGARCH模型。这可能是由于ARFIMA-eGARCH模型的LRD特性所致。
集成模型
随机森林
现在已经建立了三个预测
- ARMA
egarch_model - realGARCH
rgarch model - ARFIMA-eGARCH
arfima_egarch_model
尽管这三个预测显示出很高的相关性，但预计模型平均值会减少预测方差，从而提高准确性。使用了随机森林集成。
varImpPlot(rf$model)
随机森林由500棵树组成，每棵树随机选择2个预测以拟合实际值。下图是拟合和实际波动率。
预测与实际波动率的相关性：
[1] 0.840792
误差图：
均方误差：
[1] 1.197388e-05
MSE与实际波动率方差的比率
[1] 0.2983654
备注
涉及已实际量度信息的realGARCH模型和ARFIMA-eGARCH模型优于标准的收益序列ARMA-eGARCH模型。与基准相比，随机森林集成的MSE减少了17％以上。
从信息源的角度来看，realGARCH模型和ARFIMA-eGARCH模型捕获了日内高频数据中的增量信息（通过模型，HEAVY实际波动率估算）
进一步研究：隐含波动率
以上方法不包含隐含波动率数据。隐含波动率是根据SPX期权计算得出的。自然的看法是将隐含波动率作为预测已实现波动率的预测因子。但是，大量研究表明，无模型的隐含波动率VIX是有偏估计量，不如基于过去实际波动率的预测有效。Torben G. Andersen，Per Frederiksen和Arne D. Staal（2007） 同意这种观点。他们的工作表明，将隐含波动率引入时间序列分析框架不会带来任何明显的好处。但是，作者指出了隐含波动率中增量信息的可能性，并提出了组合模型。
因此，进一步的发展可能是将时间序列预测和隐含波动率（如果存在）的预测信息相结合的集成模型。
